MIT_线性代数笔记:第 21 讲 特征值和特征向量

2023-12-28 18:32:59


本单元后面的课程主要围绕特征值和特征向量。在这个议题下讨论得都是方阵。

特征向量和特征值 Eigenvectors and eigenvalues

将矩阵 A 与向量 x 相乘当做是对向量的一种操作或者函数,输入 x 而输出 Ax。特征向量即在特定的向量 x 方向上输出的 Ax 平行于 x,即为:
A x = λ x Ax = λx Ax=λx
其中 x 为矩阵 A 的特征向量,而λ为 A 的特征值。 如果 0 是矩阵的特征值,则有 Ax=0x=0。特征值 0 所对应的向量生成了矩阵
的零空间。如果矩阵 A 为不可逆矩阵,则 0 是其特征值之一。

例 1:矩阵 P 是朝向某平面的投影矩阵。对于这个平面之内的 x,均有 P x=x,因此 x 是特征向量而 1 为特征值。垂直于该平面的向量 x 经投影得到 P x=0,这个 x 也是矩阵的特征向量而 0 为特征值。矩阵 P 的所有特征向量张成了整个空间。

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det(A-λI)=0

任意 n x n 矩阵 A 具有 n 个特征值,并且它们的和等于矩阵对角线上的元素之和,这个数值为矩阵的迹(trace)。对于二阶矩阵,在已知一个特征值的条件下,可以据此得到另一个特征值。

方程 Ax=λx 中特征值和特征向量均未知,没法直接求解。因此我们做如下数学处理:Ax=λx,因此有(A-λI)x=0。则 A-λI 为奇异阵,因此 det(A-λI)=0。在这个没有 x 的“特征方程”中,可以解得 n 个特征值,但是有可能方程有重根,则会得到重复的特征值。

得到特征值之后,可以用消元法解(A-λI),这一矩阵零空间中的向量为矩阵A 的特征向量。
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矩阵的迹等于特征值之和:
如上所述,将 det(A-λI)=0 展开会得到?的 n阶多项式,多项式的解就是矩阵 A 的特征值,根据多项式根与系数的关系,解之和即特征值之和等于 λ n ? 1 λ^{n-1} λn?1的系数。而行列式展开式中只有对角线的积这一项包含的 λ n ? 1 λ^{n-1} λn?1(其它项最高是 n-2 次方),而其系数为矩阵 A 对角线元素之和即矩阵A 的迹,因此特征值之和与矩阵的迹相等。
对称矩阵的特征向量正交:
λ1和λ2对是对称矩阵的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 x1和 x2。则有 A x 1 x_1 x1?= λ 1 x 1 λ_1x_1 λ1?x1?,左乘 x2得 x 2 T x_2^T x2T? A x 1 x_1 x1?= λ 1 λ_1 λ1? x 2 T x_2^T x2T? x 1 x_1 x1?。而又有 x 2 T x_2^T x2T? A x 1 x_1 x1? = ( A T x 2 ) T (A^T x_2)^T (ATx2?)T x 1 x_1 x1?= λ 2 λ_2 λ2? x 2 T x_2^T x2T? x 1 x_1 x1?。因此有 ( λ 1 ? λ 2 ) x 2 T (λ_1-λ_2)x_2 ^T (λ1??λ2?)x2T? x 1 x_1 x1?=0,而两特征值不等,所以两特征向量正交。

复数特征值 Complex eigenvalues

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可以解得λ 1 = i 和λ 2 =?i。如果一个矩阵具有复数特征值 a+bi,则它的共轭复数 a-bi 也是矩阵的特征值。 实数特征值让特征向量伸缩而虚数让其旋转。

对称矩阵永远具有实数的特征值,而反对称矩阵(antisymmetric matrices),即满足 A T A^T AT =?A的矩阵,具有纯虚数的特征值。

三角阵和重特征值 Triangular matrices and repeated eigenvalues

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文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_43597208/article/details/135269063
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