数据结构学习 棋盘问题

题目：

问题：在一个给定形状的棋盘（形状可能是不规则的）上面摆放棋子，棋子没有区别。要求摆放时任意的两个棋子不能放在棋盘中的同一行或者同一列，请编程求解对于给定形状和大小的棋盘，摆放k个棋子的所有可行的摆放方案C。

input： 输入含有多组测试数据。 每组数据的第一行是两个正整数，n k，用一个空格隔开，表示了将在一个n*n的矩阵内描述棋盘，以及摆放棋子的数目。 n <= 8 , k <= n 当为-1 -1时表示输入结束。 随后的n行描述了棋盘的形状：每行有n个字符，其中 # 表示棋盘区域， . 表示空白区域（数据保证不出现多余的空白行或者空白列）。

output：对于每一组数据，给出一行输出，输出摆放的方案数目C （数据保证C<2^31）。

这里得用dfs 回溯 剪枝

错误点：

这道题是我在学习dfs里碰到的一道题。这道题我在做的时候，一开始没有关注棋盘的重复问题。导致做错了。具体来讲：

我写了一个这样的for循环：

    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < n; ++j)
        {
            if (vis_r[i] == 0 && vis_c[j] == 0)
            {
                vis_r[i] = 1;//标记
                vis_c[j] = 1;
                dfs(step + 1);
                vis_r[i] = 0;//回溯
                vis_c[j] = 0;
            }
        }
    }

我试图遍历棋盘上每个点，并且在确定第一个点之后，在棋盘任意位置继续找下一个摆放的点。在任意位置摆放下一个点的行为将会导致摆放方案的重复。

具体来说，比如有一个3×3的棋盘，想要放3个棋子（n=3，k=3）：

1、在i=0，j=0时，机器会找到这样一种情况：【标红的是（0，0）】

1
	1
		1

?2、但是在i=1，j=1时，机器又会找到这样相同的情况，并计数：【标红的是（1，1）】

1
	1
		1

?3、紧接着，在i=2，j=2时，机器又会找到这样相同的情况，并计数：【标红的是（2，2）】

1
	1
		1

?也就是说，因为我没有做合适的剪枝，导致重复计算了，相同的摆放方法被我计数了3次。

改正的方案：

    for (int i = r; i < n; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < n; ++j)
        {
            if (vis_r[i] == 0 && vis_c[j] == 0)
            {
                vis_r[i] = 1;//标记
                vis_c[j] = 1;
                dfs(step + 1,r+1);
                vis_r[i] = 0;//回溯
                vis_c[j] = 0;
            }
        }
    }

多加了一个变量r来记录可以被用来遍历的行的范围。限制下一步棋子找的范围。即：

每次都从放过棋子下一行开始搜索，保证不重复。

	第一行已经被找过了i=0
循环回到step=1，从第二行（r=1）找	1
此时想要确定i，i只能从第三行（r+1）开始找		1

总之找到一个合适的剪枝，别让它重复了。

复杂度：

时间复杂度O(n!)

空间复杂度O(n) 两个vis

代码：

太懒了，直接写在main这了。这样写是不合适的。

#include <iostream>
#include <vector>
//棋盘问题
int n = 3;
int k = 2;
int count = 0;
int step = 1;
std::vector<int> vis_r(n);
std::vector<int> vis_c(n);
void dfs(int step, int r);
int main()
{

    dfs(step, 0);

    std::cout << count;
}
void dfs(int step,int r)
{
    if (step == n + 1)
    {
        ++count;
        return;
    }
    for (int i = r; i < n; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < n; ++j)
        {
            if (vis_r[i] == 0 && vis_c[j] == 0)
            {
                vis_r[i] = 1;//标记
                vis_c[j] = 1;
                dfs(step + 1,r+1);
                vis_r[i] = 0;//回溯
                vis_c[j] = 0;
            }
        }
    }
    return;
}