【十】【C语言\动态规划】376. 摆动序列、673. 最长递增子序列的个数、646. 最长数对链，三道题目深度解析

动态规划

动态规划就像是解决问题的一种策略，它可以帮助我们更高效地找到问题的解决方案。这个策略的核心思想就是将问题分解为一系列的小问题，并将每个小问题的解保存起来。这样，当我们需要解决原始问题的时候，我们就可以直接利用已经计算好的小问题的解，而不需要重复计算。

动态规划与数学归纳法思想上十分相似。

数学归纳法：

1. 基础步骤（base case）：首先证明命题在最小的基础情况下成立。通常这是一个较简单的情况，可以直接验证命题是否成立。

2. 归纳步骤（inductive step）：假设命题在某个情况下成立，然后证明在下一个情况下也成立。这个证明可以通过推理推断出结论或使用一些已知的规律来得到。

通过反复迭代归纳步骤，我们可以推导出命题在所有情况下成立的结论。

动态规划：

1. 状态表示：

2. 状态转移方程：

3. 初始化：

4. 填表顺序：

5. 返回值：

数学归纳法的基础步骤相当于动态规划中初始化步骤。

数学归纳法的归纳步骤相当于动态规划中推导状态转移方程。

动态规划的思想和数学归纳法思想类似。

在动态规划中，首先得到状态在最小的基础情况下的值，然后通过状态转移方程，得到下一个状态的值，反复迭代，最终得到我们期望的状态下的值。

接下来我们通过三道例题，深入理解动态规划思想，以及实现动态规划的具体步骤。

376. 摆动序列 - 力扣（LeetCode）

题目解析

状态表示

状态表示一般通过经验+题目意思得到。

经验是指以某个位置为结尾或者以某个位置为开始。

我们可以很容易定义这样一个状态表示，定义dp[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，最长的摆动序列长度。

我们可以尝试推导一下状态转移方程。

dp[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，最长的摆动序列长度。

我们针对于（以i位置元素为结尾的子序列，以及i位置元素状态）进行分析，想一想dp[i]能不能由其他状态推导得出。

1. 如果只考虑i位置一个元素， 最长的摆动序列长度为1，故dp[i]=1。

2. 如果不止考虑i位置一个元素， 我们发现还需要考虑i位置元素处于“上升”状态还是“下降”状态

   1. 如果i位置元素处于“上升”状态，i位置元素可以跟在前面任意（nums[j]<nums[i]）的元素后面，我们假设i位置元素跟着j位置元素后面，j位置元素需要处于“下降”状态，而我们要考虑的是最长的摆动序列长度，所以j需要遍历（0~i-1），dp[i]=max（j位置元素（处于”下降“状态，最长的摆动序列长度）+1）j∈[0~i-1]。

   2. 如果i位置元素处于“下降”状态，i位置元素可以跟在前面任意（nums[j]>nums[i]）的元素后面，我们假设i位置元素跟着j位置元素后面，j位置元素需要处于“上升”状态，而我们要考虑的是最长的摆动序列长度，所以j需要遍历（0~i-1），dp[i]=max（j位置元素（处于”上升“状态，最长的摆动序列长度）+1）j∈[0~i-1]。

我们发现只定义（dp[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，最长的摆动序列长度）这个状态表示是没办法推导出状态转移方程，所以我们修正一下状态表示。

定义 ，

f[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，处于“上升”状态时，最长的摆动序列长度。

g[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，处于“下降”状态时，最长的摆动序列长度。

状态转移方程

我们针对于（以i位置元素为结尾的子序列，以及i位置元素状态）进行分析，想一想dp[i]能不能由其他状态推导得出。

1. 如果只考虑i位置一个元素， 最长的摆动序列长度为1，故f[i]=g[i]=1。

2. 如果不止考虑i位置一个元素， 我们发现还需要考虑i位置元素处于“上升”状态还是“下降”状态

   1. 如果i位置元素处于“上升”状态，i位置元素可以跟在前面任意（nums[j]<nums[i]）的元素后面，我们假设i位置元素跟着j位置元素后面，j位置元素需要处于“下降”状态，而我们要考虑的是最长的摆动序列长度，所以j需要遍历（0~i-1），f[i]=max（g[j]+1）j∈[0~i-1],g[i]=1。

   2. 如果i位置元素处于“下降”状态，i位置元素可以跟在前面任意（nums[j]>nums[i]）的元素后面，我们假设i位置元素跟着j位置元素后面，j位置元素需要处于“上升”状态，而我们要考虑的是最长的摆动序列长度，所以j需要遍历（0~i-1），g[i]=max（f[i]+1）j∈[0~i-1],f[i]=1。

将上述情况进行简化和合并，我们发现有许多情况f[i]=g[i]=1，并且1是最低的标准，任何位置的状态最少都是1，所以我们可以把这些情况放在初始化部分处理，即先把所有位置的状态初始化为1。

所以我们可以得到状态转移方程，

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                f[i] = fmax(f[i], g[j] + 1);
            } else if (nums[i] < nums[j]) {
                g[i] = fmax(g[i], f[j] + 1);
            }
        }
    }

初始化

根据状态转移方程，我们推导i位置的状态时，需要用到（0~i-1）位置的状态，所以我们应该初始化第一个位置的状态，即f[0]=g[0]=1。

结合状态转移方程中的分析，所有位置的状态都需要初始化为1，所以我们统一初始化状态为1。即，

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        f[i] = g[i] = 1;
    }

填表顺序

根据状态转移方程，我们推导i位置的状态时，需要用到（0~i-1）位置的状态，所以我们应该从左往右填表，即，

从左往右。

返回值

f[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，处于“上升”状态时，最长的摆动序列长度。

g[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，处于“下降”状态时，最长的摆动序列长度。

结合题目意思，我们需要找到最长的摆动序列长度，所以我们应该遍历f，g数组找到最长的长度然后返回。

代码实现

int wiggleMaxLength(int* nums, int numsSize) {
    int n = numsSize;

    int f[n], g[n];
    int ret = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        f[i] = g[i] = 1;
    }

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                f[i] = fmax(f[i], g[j] + 1);
            } else if (nums[i] < nums[j]) {
                g[i] = fmax(g[i], f[j] + 1);
            }
        }
        ret = fmax(ret, fmax(f[i], g[i]));
    }
    return ret;
}

673. 最长递增子序列的个数 - 力扣（LeetCode）

题目解析

状态表示

状态表示一般通过经验+题目意思得到。

经验是指以某个位置为结尾或者以某个位置为开始。

我们可以很容易定义这样一个状态表示，定义dp[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，最长的严格递增序列的个数。

我们可以尝试推导一下状态转移方程。

dp[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，最长的严格递增子序列的个数。

我们想要由其他位置的状态推导出i位置的状态，只知道最长的严格递增子序列个数是不够的，因为我不知道你对应的最长子序列的长度。

所以我们还需要一个状态记录对应的最长子序列的长度。

定义，

len[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，最长的严格递增子序列的长度。

count[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，最长的严格递增子序列的个数。

状态转移方程

len[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，最长的严格递增子序列的长度。

count[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，最长的严格递增子序列的个数。

我们针对于（以i位置元素为结尾的子序列，以及i位置元素状态）进行分析，想一想dp[i]能不能由其他状态推导得出。

1. 如果只考虑i位置一个元素， len[i]=1，count[i]=1；

2. 如果不止考虑i位置一个元素， 我们考虑的是子序列，i位置元素可能跟在前面任意（nums[i]>nums[j]）元素后面，因此我们用j表示（0~i-1）区间上的下标。

   1. 在求个数之前，我们得知道长度，因此先看len[i]，

      ????综上所述，对于len[i],我们可以得到状态转移方程， len[i]=max(len[i],len[j]+1),其中(0<=j<i)，并且nums[i]>nums[j]。

      1. 在求i位置的len时，我们已经知道（0，i-1）位置上的len信息。

      2. 我们需要的是递增序列，因此nums[i]只要能和nums[j]构成上升序列，那就可以更新len[i]的值，此时最长的长度为len[j]+1。

      3. 我们要的是（0~i-1）区间上所有情况下的最大值。

   2. 在知道每个位置为结尾的最长递增子序列的长度时，我们尝试推导count状态。

      ????综上所述，对于count[i]，我们可以得到状态转移方程，

      ????count[i]+=count[j],其中(0<=j<i)，并且nums[j]<nums[i]&&(len[j]+1==len[i])。

      1. 我们现在已经知道len[i]的信息，以及（0~i-1）位置上count[j]的信息。

      2. 我们再遍历（0~i-1）只要能构成上升序列，并且上升序列的长度为len[i]，那么就可以把count[i]加上count[j]的值。这样循环一遍后，count[i]就是我们想要的值。

将上述情况简化和合并，

我们可以先填写len状态再填写count状态，状态转移方程为，

    for (int i = 1; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            if (nums[i] > nums[j] && len[j] + 1 > len[i])
                len[i] = len[j] + 1;

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++)
            if (nums[i] > nums[j] && len[j] + 1 == len[i])
                count[i] += count[j];

        count[i] = fmax(count[i], 1);
    }

初始化

根据状态转移方程，我们推导i位置的状态时，需要用到（0~i-1）位置的状态，所以我们应该初始化第一个位置的状态，即len[0]=count[0]=1。

根据状态转移方程，在填写len状态时，我们先考虑（如果不止考虑i位置一个元素，）这种情况，如果i位置元素可以和（0~i-1）位置的元素构成上升序列，那么len[i]就可以由len[j]推导得出，如果（0~i-1）位置上没有一个j可以构成上升序列，再考虑（如果只考虑i位置一个元素）这种情况，len[j]就等于1。

因为len状态的推导是赋值，所以我们可以将所有位置上len状态初始化为1。

在填写count状态时，我们先考虑（如果不止考虑i位置一个元素，）这种情况，在（0~i-1）中记录最长递增子序列的个数，所以count[i]应该初始化为0。再考虑（如果只考虑i位置一个元素）这种情况，count[i]=max（count[i],1）。

综上所述，初始化为，

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        len[i] = 1;
        count[i] = 0;
    }
    count[0] = 1;

填表顺序

根据状态转移方程，我们推导i位置的状态时，需要用到（0~i-1）位置的状态，所以我们应该从左往右填写。即，

从左往右。

返回值

len[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，最长的严格递增子序列的长度。

count[i]表示以i位置元素为结尾的子序列中，最长的严格递增子序列的个数。

结合题目意思，我们应该返回最长递增子序列的个数，所以我们需要遍历len找到最长递增子序列的长度，然后遍历count统计最长子序列的个数，然后返回。

代码实现

int findNumberOfLIS(int* nums, int numsSize) {
    int n = numsSize;

    int len[n], count[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        len[i] = 1;
        count[i] = 0;
    }
    count[0] = 1;
    int retlen = 1;
    int retcount = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            if (nums[i] > nums[j] && len[j] + 1 > len[i])
                len[i] = len[j] + 1;

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++)
            if (nums[i] > nums[j] && len[j] + 1 == len[i])
                count[i] += count[j];

        count[i] = fmax(count[i], 1);
    }

    for (int i = 0; i < n; i++)
        retlen = fmax(retlen, len[i]);

    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (len[i] == retlen)
            retcount += count[i];

    return retcount;
}

retcount += count[i]; return retcount; }

646. 最长数对链 - 力扣（LeetCode）

题目解析

状态表示

状态表示一般通过经验+题目意思得到。

经验是指以某个位置为结尾或者以某个位置为开始。

我们可以很容易定义这样一个状态表示，定义dp[i]表示以i位置数对为结尾的子序列中，最长递增数对链的长度。

状态转移方程

dp[i]表示以i位置数对为结尾的子序列中，最长递增数对链的长度。

我们针对于（以i位置数对为结尾的子序列，以及i位置数对状态）进行分析，想一想dp[i]能不能由其他状态推导得出。

1. 如果只考虑i位置一个数对， dp[i]=1。

2. 如果不止考虑i位置一个数对， i位置的数对可能跟在前面满足（pairs[i][0]>pairs[j][1]）的任意数对后面，用j表示（0~i-1）中间的某个数。 如果（pairs[i][0]>pairs[j][1]）i位置数对第一个元素可以与j位置第二个元素构成上升序列，此时递增数对链的长度为dp[j]+1。 而(0<=j<=i-1)，dp[i]存储的是最长递增数对链的长度。 所以dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)，0<=j<=i-1。

将上述情况进行合并和简化，dp[i]=max（如果只考虑i位置一个数对，如果不止考虑i位置一个数对），（如果不止考虑i位置一个数对）这种情况中，取max时，需要在自己和前面的值进行选择，前面的值已经得到，所以自己应该要初始化。又因为是对dp[i]进行赋值操作，所以如果这种情况可以进行赋值，那么初始化的值就不会对这种情况有影响。如果这种情况不存在，dp[i]存储的值就是初始化的值。结合（如果只考虑i位置一个数对）这种情况，如果第二种情况不存在，dp[i]应该存储1。

所以我们可以将所有位置的状态初始化为1，这样就可以只考虑第二种情况，

状态转移方程可以简化为，

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (pairs[i][0] > pairs[j][1]) {
                dp[i] = fmax(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }

初始化

根据状态转移方程，推导i位置的状态时，需要用到（0~i-1）位置的状态，所以我们需要初始化第一个位置的状态，即，dp[0]=1。结合状态转移方程的分析，我们需要把所有状态初始化为1。结合可以得到初始化，

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i] = 1;
    }

填表顺序

根据状态转移方程，推导i位置的状态时，需要用到（0~i-1）位置的状态，所有我们应该从左往右填写，保证推导i位置状态时，（0~i-1）位置的状态已经得到。

返回值

dp[i]表示以i位置数对为结尾的子序列中，最长递增数对链的长度。

结合题目意思，我们需要在排列后的所有子序列中找到最长递增数对链的长度，所以我们需要遍历dp数组找到最长递增数对链的长度。

代码实现

static inline int cmp(const void *pa, const void *pb) {
    if ((*(int **)pa)[0] == (*(int **)pb)[0]) {
        return (*(int **)pa)[1] == (*(int **)pb)[1];
    } 
    return (*(int **)pa)[0] - (*(int **)pb)[0];
}
int findLongestChain(int** pairs, int pairsSize, int* pairsColSize) {
    int n = pairsSize;
    int dp[n];
    qsort(pairs,pairsSize,sizeof(int *),cmp);

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i] = 1;
    }
    int ret = 1;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (pairs[i][0] > pairs[j][1]) {
                dp[i] = fmax(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        ret = fmax(ret, dp[i]);
    }

    return ret;
}

结尾

今天我们学习了动态规划的思想，动态规划思想和数学归纳法思想有一些类似，动态规划在模拟数学归纳法的过程，已知一个最简单的基础解，通过得到前项与后项的推导关系，由这个最简单的基础解，我们可以一步一步推导出我们希望得到的那个解，把我们得到的解依次存放在dp数组中，dp数组中对应的状态，就像是数列里面的每一项。最后感谢您阅读我的文章，对于动态规划系列，我会一直更新，如果您觉得内容有帮助，可以点赞加关注，以快速阅读最新文章。

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