我们通过直觉来推导为什么线性模糊一定是高斯函数

这一节，我们来总结前面所有的猜测。

我们发现，初中物理透镜成像，是可以成模糊实像的。

这种模糊实像表达了这样的意思，针对清晰图像，模糊图像仍然能识别到清晰图像带来的结果，而且根据几何知识，可以看到这种模糊成像是线性的。

第一，包含自己，第二，线性的，第三，透镜成模糊像在空间上是连续的。我们想到了e^x求导是自己。我们想到了导数。

然后我们更一般的会想到,f(x)'=f(x),但我们说过了，这样的f(x)自己还是自己，求导还是自己，不可能模糊，表达线性线性有限f(x)'/f(x)=1，这种线性是不变的，我们想要的线性是可变的,而且是和x相关的（我们在机器视觉中，都有这样的经验，放大是需要相邻像素插补的，那么图像会变模糊，缩小，会丢失像素，也会变模糊，和x相关，就是和放大缩小倍数相关，他恒等于1怎么行？）。

我们的模糊图像和和函数的导数挂钩，所以我们研究的是f(x)'。

假设，f(x)'是因变量，f(x)是自变量，我们首先要的是，f(x)'正比于f(x)。（包含自己）

第二个想要的是，f(x)'正比于x。（表达线性）

在恩格斯的自然辩证法中，说动能正比于质量，动能正比于速度的平方，其中写下了这样的动能公式：E=c*m*v^2。

我们可以借鉴过来：f(x)'=c*f(x)*x。

因为f(x)本来是因变量，x是自变量，这样，我们可以看到因果x->f(x)->f(x)'。

这样，我们就把导数，函数，和自变量联系起来了。

而且把线性模糊表达出来了。

我查了一下高数，f(x)'=c*f(x)*x是一阶线性微分方程。

一阶线性微分方程有通解，我们可以求出f（x）=K*exp（0.5*c*x^2）。

学过概率论的人都知道，概率密度函数积分等于1，也就是说必然发生的概率等于1。

假定我们没学过概率论，我们为什么要这样做？f(x)dx=1，留给大家思考。

即就是f(x)dx=1，条件是c<0。

因为exp（-x^2）dx=sqrt(PI)。

所以令c=-1/(sigma*sigma)

可以求出：k=1/(sqrt(2*PI)*sigma)。

所以，f（x）=K*exp（0.5*c*x^2）=1/(sqrt(2*PI)*sigma)*exp（0.5*-1/(sigma*sigma)*x^2）

其实，我们也不知道，sigma是什么鬼，只是数学推导的方便。

后来人们画出来了这个函数的图形，像口钟，发现了sigma的意义，就是尺度。

我们推出了高斯公式，有什么意义呢？

高斯推出这个公式时并不是为了解决这个问题。

而我们为了解决一个线性模糊的问题，也推出了高斯公式。

那么，你说高斯公式能干什么呢？

不就是又有了新的应用和领域了呗！

说穿了，就是高斯函数是图像尺度变换的唯一线性变换核。

需要解释的是：

我们的？主轴可以变成k*sigma，下面表达了k=1和k=2的情形

你可以把这个？轴，想象成透镜成像的光学主轴