我们通过直觉来推导为什么线性模糊一定是高斯函数

2023-12-21 22:39:04

这一节,我们来总结前面所有的猜测。

我们发现,初中物理透镜成像,是可以成模糊实像的。

这种模糊实像表达了这样的意思,针对清晰图像,模糊图像仍然能识别到清晰图像带来的结果,而且根据几何知识,可以看到这种模糊成像是线性的。

第一,包含自己,第二,线性的,第三,透镜成模糊像在空间上是连续的。我们想到了e^x求导是自己。我们想到了导数。

然后我们更一般的会想到,f(x)'=f(x),但我们说过了,这样的f(x)自己还是自己,求导还是自己,不可能模糊,表达线性线性有限f(x)'/f(x)=1,这种线性是不变的,我们想要的线性是可变的,而且是和x相关的(我们在机器视觉中,都有这样的经验,放大是需要相邻像素插补的,那么图像会变模糊,缩小,会丢失像素,也会变模糊,和x相关,就是和放大缩小倍数相关,他恒等于1怎么行?)。

我们的模糊图像和和函数的导数挂钩,所以我们研究的是f(x)'。

假设,f(x)'是因变量,f(x)是自变量,我们首先要的是,f(x)'正比于f(x)。(包含自己)

第二个想要的是,f(x)'正比于x。(表达线性)

在恩格斯的自然辩证法中,说动能正比于质量,动能正比于速度的平方,其中写下了这样的动能公式:E=c*m*v^2。

我们可以借鉴过来:f(x)'=c*f(x)*x。

因为f(x)本来是因变量,x是自变量,这样,我们可以看到因果x->f(x)->f(x)'。

这样,我们就把导数,函数,和自变量联系起来了。

而且把线性模糊表达出来了。

我查了一下高数,f(x)'=c*f(x)*x是一阶线性微分方程。

一阶线性微分方程有通解,我们可以求出f(x)=K*exp(0.5*c*x^2)。

学过概率论的人都知道,概率密度函数积分等于1,也就是说必然发生的概率等于1。

假定我们没学过概率论,我们为什么要这样做?\intf(x)dx=1,留给大家思考。

即就是\intf(x)dx=1,条件是c<0。

因为\intexp(-x^2)dx=sqrt(PI)。

所以令c=-1/(sigma*sigma)

可以求出:k=1/(sqrt(2*PI)*sigma)。

所以,f(x)=K*exp(0.5*c*x^2)=1/(sqrt(2*PI)*sigma)*exp(0.5*-1/(sigma*sigma)*x^2)

其实,我们也不知道,sigma是什么鬼,只是数学推导的方便。

后来人们画出来了这个函数的图形,像口钟,发现了sigma的意义,就是尺度。

我们推出了高斯公式,有什么意义呢?

高斯推出这个公式时并不是为了解决这个问题。

而我们为了解决一个线性模糊的问题,也推出了高斯公式。

那么,你说高斯公式能干什么呢?

不就是又有了新的应用和领域了呗!

说穿了,就是高斯函数是图像尺度变换的唯一线性变换核。

需要解释的是:

我们的?主轴可以变成k*sigma,下面表达了k=1和k=2的情形

你可以把这个?轴,想象成透镜成像的光学主轴

文章来源:https://blog.csdn.net/ganggangwawa/article/details/135139765
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