深度学习之矩阵形式的链式法则推导

2024-01-09 19:20:49

深度学习之矩阵形式的链式法则推导

对于深度学习的基础“梯度下降”和“自动微分”的数学原理网上讲解的博客有很多了，但是目前没看到有讲关于矩阵形式的链式法则的内容，所以写了这篇笔记，供自己学习和复习。

文章目录

深度学习之矩阵形式的链式法则推导
1. 复习基础
- 几个基本概念
- 举例
2.标量形式的链式法则
- 拓展到向量
3.矩阵形式的链式法则
- 仅中间变量是向量
- 所有变量均为向量

1. 复习基础

我印象中本科生学习的传统微积分中，当时学的是只有标量多元函数才能求梯度，本科阶段也只介绍了标量链式法则。为了尽可能简洁明了地进行推导，首先复习几个简单的概念：

几个基本概念

方向导数：是标量多元函数沿指定方向的变化率，它在原函数的特定某点上是一个数。根据定义，方向导数是原函数沿着这一方向，自变量增加一个无穷小量后的微小变化量，除以这个无穷小量，再取极限得到的一个数。反映了原函数在这个点的特定方向上的函数值变化率。
偏导数：一个多元标量函数对每个自变量各有一个偏导数。其本质是标量多元函数沿着每个元的坐标轴正方向的方向导数。
梯度：是一个向量，向量的每个维度为原函数对该维度的偏导数。同时，其也是原函数在任一点沿所有方向的最大方向导数。它是原函数增长最快的方向。

我本科数学阶段老师上课所讲的多元分析学，研究的函数基本上都在标量多元函数范畴内。

根据国际惯例，本文把标量记作小写字母 $x$ ，向量记作粗体小写字母 $\textbf{x}$ 或者带有箭头上标的小写字母 $\vec{x}$ ，矩阵记作大写字母 $X$ .

举例

下面用一个简单的二元标量函数 $y = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 为例简要介绍以上基本概念：

方向导数

? 求上述二元标量函数 $y=f(\vec{x})$ 在点 $(1, 1)$ 沿方向 $(? 1, ? 1)$ 的方向导数：

? 根据定义：
$\textbf{方向导数} = \lim_{t \to 0} \frac{f(\textbf{x}+\textbf{t}) - f(\textbf{x} )}{t} \\ 其中\textbf{t}表示沿着指定方向的向量，t表示方向向量\textbf{t}的模长$
? 代入数据：
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \quad 在点(1,1)处:f(\textbf{x})=2 \\ 将方向向量单位化：(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}),则\lim_{t\to0}\vec{t} = (-\frac{1}{\sqrt{2}}t, -\frac{1}{\sqrt{2}}t) : \\ 在点(1-\frac{1}{\sqrt{2}}t,1-\frac{1}{\sqrt{2}}t)处:f(\textbf{x+t}) = t^{2} - 2\sqrt{2}t + 2 \\ \lim_{t \to 0} \frac{f(\textbf{x}+\textbf{t}) - f(\textbf{x} )}{t} = \frac{t^{2}-2\sqrt{2}t}{t} = -2\sqrt{2}$
偏导数(偏导函数)
?
求上述函数对于 $x_{1}$ 的偏导(函)数：
?
根据定义：
${f}'(x_{1}) = \frac{\partial y}{\partial x_{1}} = 2x_{1}$
梯度

? 求原函数在点 $(1, 1)$ 处的梯度：

? 根据定义：

$\begin{align*} \bigtriangledown f &= (f'(x_{1}), f'(x_{2}), \cdots, f'(x_{n})) \\ & = (\frac{\partial y}{\partial x_{1}}, \frac{\partial y}{\partial x_{2}}, \cdots, \frac{\partial y}{\partial x_{n}} ) \end{align*}$

? 代入数据得：

$\begin{align*} \bigtriangledown f &= (f'(x_{1}), f'(x_{2})) \\ & = (\frac{\partial y}{\partial x_{1}}, \frac{\partial y}{\partial x_{2}}) \\ & = (2x_{1}, 2x_{2}) \\ & = (2,2) \end{align*}$

2.标量形式的链式法则

这个是本科工科数学一元分析学的重点，此处不用多做证明，只简单地记录一下：

$u=g(x)，其中y,u,x均为标量，则:\\ \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial y}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$

拓展到向量

设 $u=g(\vec{x})$ , 其中 $\vec{x} = (x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ , y和u均为标量

则有：

$\frac{\partial y}{\partial \textbf{x}} = \frac{\partial y}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial \textbf{x}} \\ (1,n) = 1\cdot(1,n)$

更具体的展开：

这是显然的。

3.矩阵形式的链式法则

前面提到的例子全部都只涉及到对标量多元函数求偏导数，这是本科的工科数学中就很熟悉的内容。下面介绍的矩阵形式的链式法则均涉及到向量多元函数的偏导数。对向量多元函数求梯度得到的是一个矩阵。

仅中间变量是向量

设 $y=f(\vec{u}), \vec{u}=g(\vec{x})$ , 其中 $\vec{u} = (u_{1},u_{2},\cdots,u_{k})$ , $\vec{x} = (x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ , y为标量

链式法则的具体展开：

$\begin{align*} \frac{\partial y}{\partial \textbf{x}} &= ( \frac{\partial y}{\partial x_{1}}, \frac{\partial y}{\partial x_{2}}, \cdots, \frac{\partial y}{\partial x_{n}}) \\ &= ( \frac{\partial y}{\partial \textbf{u}}\cdot\frac{\partial \textbf{u}}{\partial x_{1}}, \frac{\partial y}{\partial \textbf{u}}\cdot\frac{\partial \textbf{u}}{\partial x_{2}}, \cdots, \frac{\partial y}{\partial \textbf{u}}\cdot\frac{\partial \textbf{u}}{\partial x_{n}}) \\ &= (\frac{\partial y}{\partial \textbf{u}}) \cdot ( \frac{\partial \textbf{u}}{\partial x_{1}}, \frac{\partial \textbf{u}}{\partial x_{2}}, \cdots, \frac{\partial \textbf{u}}{\partial x_{n}}) \\ &= (\frac{\partial {y}}{\partial u_{1}}, \frac{\partial {y}}{\partial u_{2}}, \cdots, \frac{\partial {y}}{\partial u_{k}}) \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial u_{1}}{\partial \textbf{x}} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial \textbf{x}}\\ \cdots \\ \frac{\partial u_{k}}{\partial \textbf{x}} \end{bmatrix} \\ &= (\frac{\partial {y}}{\partial u_{1}}, \frac{\partial {y}}{\partial u_{2}}, \cdots, \frac{\partial {y}}{\partial u_{k}}) \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}& \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}& \cdots & \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{n}}\\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}& \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}& \cdots & \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{n}} \\ \cdots &\cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{1}}& \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{2}}& \cdots & \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix} \end{align*}$

即：

$\frac{\partial y}{\partial \textbf{x}} = \frac{\partial y}{\partial \textbf{u}} \cdot \frac{\partial \textbf{u}}{\partial \textbf{x}} \\ (1,n) = (1,k)\cdot(k,n)$

所有变量均为向量

设 $\vec{y}=f(\vec{u}), \vec{u}=g(\vec{x})$ , 其中 $\vec{y} = (y_{1},y_{2},\cdots,y_{m})$ , $\vec{u} = (u_{1},u_{2},\cdots,u_{k})$ , $\vec{x} = (x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$

链式法则的具体展开：

$\begin{align*} \frac{\partial \textbf{y}}{\partial \textbf{x}} &= ( \frac{\partial \textbf{y}}{\partial x_{1}}, \frac{\partial \textbf{y}}{\partial x_{2}}, \cdots, \frac{\partial \textbf{y}}{\partial x_{n}}) \\ &= ( \frac{\partial \textbf{y}}{\partial \textbf{u}}\cdot\frac{\partial \textbf{u}}{\partial x_{1}}, \frac{\partial \textbf{y}}{\partial \textbf{u}}\cdot\frac{\partial \textbf{u}}{\partial x_{2}}, \cdots, \frac{\partial \textbf{y}}{\partial \textbf{u}}\cdot\frac{\partial \textbf{u}}{\partial x_{n}}) \\ &= (\frac{\partial \textbf{y}}{\partial \textbf{u}}) \cdot ( \frac{\partial \textbf{u}}{\partial x_{1}}, \frac{\partial \textbf{u}}{\partial x_{2}}, \cdots, \frac{\partial \textbf{u}}{\partial x_{n}}) \\ &= \begin{bmatrix} \frac{\partial y_{1}}{\partial u_{1}}& \frac{\partial y_{1}}{\partial u_{2}}& \cdots & \frac{\partial y_{1}}{\partial u_{k}}\\ \frac{\partial y_{2}}{\partial u_{1}}& \frac{\partial y_{2}}{\partial u_{2}}& \cdots & \frac{\partial y_{2}}{\partial u_{k}} \\ \cdots &\cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{\partial y_{m}}{\partial u_{1}}& \frac{\partial y_{m}}{\partial u_{2}}& \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial u_{k}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}& \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}& \cdots & \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{n}}\\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}& \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}& \cdots & \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{n}} \\ \cdots &\cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{1}}& \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{2}}& \cdots & \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix} \end{align*}$

即：

$\frac{\partial \textbf{y}}{\partial \textbf{x}} = \frac{\partial \textbf{y}}{\partial \textbf{u}} \cdot \frac{\partial \textbf{u}}{\partial \textbf{x}} \\ (m,n) = (m,k)\cdot(k,n)$

如果将此时的链式法则画出计算图，可以清晰地看出，向量函数 $\textbf{y}$ 对向量 $\textbf{x}$ 求偏导，实际上就是遍历了从y到x的所有依赖关系。这就是上面这个矩阵相乘的本质。 ]

文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_43914896/article/details/135415971
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