1312：【例3.4】昆虫繁殖-递推-代码+解析

1312：【例3.4】昆虫繁殖
【题目描述】
科学家在热带森林中发现了一种特殊的昆虫，这种昆虫的繁殖能力很强。每对成虫过x个月产y对卵，每对卵要过两个月长成成虫。假设每个成虫不死，第一个月只有一对成虫，且卵长成成虫后的第一个月不产卵(过x个月产卵)，问过z个月以后，共有成虫多少对？0≤x≤20,1≤y≤20,X≤z≤50。

【输入】
x,y,z的数值。

【输出】
过z个月以后，共有成虫对数。

【输入样例】
1 2 8
【输出样例】
37

其他样例：
【输入样例】
2 3 4
【输出样例】
4

思路：

1. 首先要根据样例，算出每个月的成虫数和虫卵数

   月份	成虫总数量 a[i]	卵总数量
   x	健壮的虫+刚长大的虫	之前的卵+刚出生的卵宝宝
   1	1	2
   2	1	2+2=4
   3	1+2=3	2+2=4
   4	3+2=5	6+2=8
   5	5+2=7	10+6=16
   6	7+6=13	14+10=24
   7	13+10=23	26+14=40
   8	23+14=37	46+26=72

2. 不难看出需要注意：

   • 第一个月只有一对成虫，即默认为刚从卵长大的成虫，所以第一个月依旧不繁殖，即当月不可能繁殖，所以是当月起x个月才开始繁殖！x为1 则在第二月才开始繁殖！
   • 由于下个月的卵和上一个月的卵关系不是很大，且计算成虫总量时用到的是当月虫卵数，所以最好将b[i]设置为当月产卵数

3. 根据推算，看起来从第四列开始 a[i]=a[i-1]+两个月前的当月新生虫卵数 ,当月新生虫卵数又等于上月(x=1)成虫数*y, 即：a[i]=a[i-1]+a[i-2-x] *y

4. 所以得到—：
   递推公式①：

   a[i]=a[i-1]+a[i-2-x] *y

   或者递推公式②:

   a[i]=a[i-1]=b[i-2];

   b[i]=b[i-x]*y

5. 推算完成后，一定要注意边界值！即在前x个月，没有产卵！不难看出，以上关系式是不成立的，所以需要分时间段算即：

   • 在前x个月，没有产卵！所以 a[i]=1;b[i]=0
   • 从x个月到x+2个月，由于产卵了，但是卵没有长大，所以也需要单独算：a[i]=1;b[i]=a[i]*y
   • 从x+2月开始，就可以使用递推公式了，但是注意，在使用递推公式①时，需要考虑到a[i-2-x]很可能为是a[0]（样例1就是x=1时，从第三月开始算，需要用到a[0]）,所以需要默认值：a[0]=1

//昆虫繁殖
//先通过样例推算，得到a[n]=a[n-1]+a[n-2-x]
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int x,y,z;
	long long a[51],b[51];
	a[0]=1; //需要考虑到默认值 
	cin>>x>>y>>z;
	//这是小于x个月之前的原生虫
	for(int i=1;i<x;i++){
		a[i] = 1;
		b[i] = 0;
	}
	//x~x+2月以后(如果此时月份<2,即卵虫还未成成虫)
	for(int i=x;i<x+2;i++){
		a[i] = 1;
		b[i] = a[i]*y;
	}
	//递推公式2
//	for(int i=x+2;i<=z;i++){
//		a[i] = a[i-1]+b[i-2];
//		b[i] = a[i-x]*y;
//	}
//递推公式1
	for(int i=x+2;i<=z;i++){
		a[i]=a[i-1]+a[i-2-x]*y;
	}
	cout<<a[z];
	return 0;
}