微积分-第二章三角函数(合集)

2023-12-22 21:34:56

第二章三角函数

在处理微积分问题时,我们不可避免的会遇到三角函数。学会三角函数对于微积分是非常重要的。

2.1基本知识

学习三角函数我们需要先学习一些基本知识。
首先要学习的是弧度的概念。弧度是一种角的度量单位,用于测量角的大小。它是根据角所对的弧长与该弧所在圆的半径之比来定义的。

单位为1的单位圆的圆心角的弧度就是 2 π 2\pi 2π。因为圆的周长公式是 2 π r 2\pi r 2πr,而单位圆的半径为1,所以圆心角的弧度是 2 π 2 \pi 2π

弧度

弧度和角度之间可以相互转换,有公式
弧度 = 角度 × π 180 弧度 = 角度 \times \frac{\pi}{180} 弧度=角度×180π?
角度 = 弧度 × 180 π 角度 = 弧度 \times \frac{180}{\pi} 角度=弧度×π180?

下表是我们常用的角度和弧度的转换

角度弧度
0
30° π 6 \frac{\pi}{6} 6π?
45° π 4 \frac{\pi}{4} 4π?
60° π 3 \frac{\pi}{3} 3π?
90° π 2 \frac{\pi}{2} 2π?
180° π \pi π
270° 3 π 2 \frac{3\pi}{2} 23π?
360° 2 π 2\pi 2π

我们扩展了角的度量单位,现在来让我们从三角型中来学习三角函数。

知道如何从三角形中定义三角函数是非常重要的。让我们从直角三角形开始。

在这里插入图片描述

我们记除直角外的一角为θ,则三角函数的公式为
s i n ( θ ) = 对边 斜边 , c o s ( θ ) = 邻边 斜边 , t a n ( θ ) = 对边 邻边 sin(\theta)=\frac{对边}{斜边} ,cos(\theta)=\frac{邻边}{斜边},tan(\theta)=\frac{对边}{邻边} sin(θ)=斜边对边?cos(θ)=斜边邻边?tan(θ)=邻边对边?
这三个是最常用的三角函数。有时我们也会用到其他三个函数,它们被定义为:
s e c ( θ ) = 1 c o s ( θ ) , c s c ( θ ) = 1 s i n ( θ ) , c o t ( θ ) = 1 t a n ( θ ) sec(\theta)=\frac{1}{cos(\theta)},csc(\theta)=\frac{1}{sin(\theta)},cot(\theta)=\frac{1}{tan(\theta)} sec(θ)=cos(θ)1?,csc(θ)=sin(θ)1?,cot(θ)=tan(θ)1?

记住下表中的内容是很有必要的

0 π 6 \frac{\pi}{6} 6π? π 4 \frac{\pi}{4} 4π? π 3 \frac{\pi}{3} 3π? π 2 \frac{\pi}{2} 2π?
sin0 1 2 \frac{1}{2} 21? 1 2 \frac{1}{\sqrt{2}} 2 ?1? 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23 ??1
cos1 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23 ?? 1 2 \frac{1}{\sqrt{2}} 2 ?1? 1 2 \frac{1}{2} 21?0
tan0 1 3 \frac{1}{\sqrt{3}} 3 ?1?1 3 \sqrt{3} 3 ?无定义

虽然数学不是死记硬背,但是有些内容还是非常值得记忆的。

2.2 扩展三角函数

在上一节中,讨论了如何在直角三角形中定义三角函数,限制让我们扩展三角函数的定义域。
事实上我们可以取任意角的正弦和余弦,而不只是局限于 0 0 0~ π 2 \frac{\pi}{2} 2π?当中。
当然需要注意的是,正切函数对不是对任意角都成立。如 t a n ( π 2 ) tan(\frac{\pi}{2}) tan(2π?)就是无定义的。

我们先从 0 0 0~ 2 π 2\pi 2π之间的角开始。我们需要从坐标平面中来定义三角函数。

三角函数坐标平面

坐标轴将坐标平面分成了四个象限。分别称为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。我们可以看到象限标记的走向是逆时针。大家可能已经注意到了坐标轴上的数字了。我想大家已经猜出它们是什么了。它们表示的是标记表示的从原点出发射线与x正半轴的夹角的弧度。或者说是从原点出发射线在x轴正半轴逆时针转动的弧度。

三角函数坐标平面

如果顺时针转动则弧度是负的

三角函数平面坐标

让我们取某个角 θ \theta θ,并在坐标平面中画出来

三角函数坐标系上的θ射线

这里要注意,这里是将射线标记为θ,而不是角本身。我们在射线θ上选取一点$(x,y)并从该点画一条垂线至x。

在这里插入图片描述

图片中标记出了三个量。该点的x坐标和y坐标,以及该点到原点的距离r。有了这三个点我们便可以定义如下的三角函数:
s i n ( θ ) = y r , c o s ( θ ) = x r , t a n ( θ ) = y x sin(\theta)=\frac{y}{r},cos(\theta)=\frac{x}{r},tan(\theta)=\frac{y}{x} sin(θ)=ry?,cos(θ)=rx?,tan(θ)=xy?
这与上一节的公式是一样的。上图中我们构造了一个直角三角形,其中x、y、r分别是邻边、对比、斜边。

为了方便计算,我们常常假设 r = 1 r=1 r=1。这样得到的点 ( x , y ) (x,y) (x,y)就会落在单位圆上。上述的公式也可以简化为
s i n ( θ ) = y , c o s ( θ ) = x , t a n ( θ ) = y x sin(\theta)=y,cos(\theta)=x,tan(\theta)=\frac{y}{x} sin(θ)=y,cos(θ)=x,tan(θ)=xy?
我们怎么求解三角函数呢?让我们来看一个具体的例子,求 s i n ( 4 π 3 ) sin(\frac{4\pi}{3}) sin(34π?)。让我们画出它的图像。

在这里插入图片描述

我们知道 s i n ( θ ) = y sin(\theta)=y sin(θ)=y,所以求 s i n ( 4 π 3 ) sin(\frac{4\pi}{3}) sin(34π?)就需要求出 y y y多少。让我们把目光放在图像中构造出来三角形中。 y y y的绝对值就是这个三角形θ角的对边的长度。上一节中我们说过 s i n ( θ ) = 对边 斜边 sin(\theta)=\frac{对边}{斜边} sin(θ)=斜边对边?,我们已经假设了 r = 1 r=1 r=1。所以 ∣ y ∣ = s i n ( α ) |y|=sin(\alpha) y=sin(α)

α \alpha α是角 4 π 3 \frac{4\pi}{3} 34π?的射线与x轴负半轴的夹角。所以我们有 α = π ? 4 π 3 = π 3 \alpha=\pi - \frac{4\pi}{3}=\frac{\pi}{3} α=π?34π?=3π?
我们有 ∣ s i n ( 4 π 3 ) ∣ = s i n ( π 3 ) = 3 2 |sin(\frac{4\pi}{3})|=sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2} sin(34π?)=sin(3π?)=23 ??

我们怎么确定它的符号呢?很简单看象限就可以了。角 4 π 3 \frac{4\pi}{3} 34π?在第三象限,所以 y < 0 y<0 y<0。最终我们可以得到 s i n ( 4 π 3 ) = ? s i n ( π 3 ) = ? 3 2 sin(\frac{4\pi}{3})=-sin(\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2} sin(34π?)=?sin(3π?)=?23 ??

这个小角称为参考角,一般来说参考角是角 θ \theta θ的射线与x轴之间最小的角。它介于0~ 2 π 2\pi 2π之间。角 θ \theta θ的三角函数的绝对值与参考角的三角函数值一致。角 θ \theta θ的三角函数值的符号取决于它射线所在的象限。

在第一象限中,x和y都是正的。所以射线位于第一象限中的任意角的正弦、余弦和正切都必定为正。

在第二象限中,x为负,y为正。所以射线位于第二象限的任意角的正弦为正;余弦和正切为负

第三象限中,x和y都为负。所以射线位于第三象限的任意角的正弦和余弦都为负;正切为正。

在第四象限中,x为正,y为负。所以射线位于第四象限的任意角的余弦为正;正弦和正切为负

三角函数ASTC

为了方便大家记忆,我这里为大家总结为以下内容:第一象限全为正,第二象限sin为为正、第三象限tan为正、第四象限cos为正。其余全为负

现在让我们做几个练习题。

求角 5 π 4 \frac{5\pi}{4} 45π?的正弦、余弦和正切。

首先我们需要判断这个角的射线在第几象限,确认三角函数值的符号和参考角。因为 π ≤ 5 π 4 ≤ 3 π 2 \pi \leq \frac{5\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{2} π45π?23π?,所以射线位于第三象限。第二步求出它的参考角 α \alpha α α = 5 π 4 ? π = π 4 \alpha=\frac{5\pi}{4}-\pi=\frac{\pi}{4} α=45π??π=4π?。第三步求出参考角的三角函数: s i n ( π 4 ) = 1 2 sin(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}} sin(4π?)=2 ?1?。结合上图中的第三象限三角函数的符号最终我们可以得到:
s i n ( 5 π 4 ) = ? s i n ( π 4 ) = ? 1 2 c o s ( 5 π 4 ) = ? c o s ( π 4 ) = ? 1 2 t a n ( 5 π 4 ) = t a n ( π 4 ) = 1 sin(\frac{5\pi}{4})=-sin(\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ cos(\frac{5\pi}{4})=-cos(\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ tan(\frac{5\pi}{4})=tan(\frac{\pi}{4})=1 sin(45π?)=?sin(4π?)=?2 ?1?cos(45π?)=?cos(4π?)=?2 ?1?tan(45π?)=tan(4π?)=1

求角 2 π 3 \frac{2\pi}{3} 32π?的正弦值。

因为 π 2 ≤ 2 π 3 ≤ π \frac{\pi}{2} \leq \frac{2\pi}{3} \leq \pi 2π?32π?π 。故角 2 π 3 \frac{2\pi}{3} 32π?位于第二象限。它的参考角为: π ? 2 π 3 = π 3 \pi - \frac{2\pi}{3} =\frac{\pi}{3} π?32π?=3π?。最终我们可以得到 s i n ( 2 π 3 ) = s i n ( π 3 ) = 3 2 sin(\frac{2\pi}{3})=sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2} sin(32π?)=sin(3π?)=23 ??

我们来总结一下计算步骤

  1. 判断这个角的射线在第几象限
  2. 找出这个角的参考角
  3. 求参考角的三角函数值
  4. 根据角所在象限确认这个角的三角函数值的符号

考虑角 6 π 7 \frac{6\pi}{7} 76π?,它的正弦值是多少?它位于第二象限,且它的参考角为 π 7 \frac{\pi}{7} 7π?。所以 s i n ( 6 π 7 ) = s i n ( π 7 ) sin(\frac{6\pi}{7})=sin(\frac{\pi}{7}) sin(76π?)=sin(7π?)。这是不适应近似可以得到的最简形式。在求解微积分问题的时候,不建议取近似值。除非有明确要求。

0 ~ 2 π 2\pi 2π之外的角

现在让我们考虑 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]之外的角。在坐标平面中角的弧度就是从原点出发,射线从x轴正半轴开始,逆时针转动到某个位置,这个位置到x轴正半轴的夹角。夹角并不会止步于 2 π 2\pi 2π,每转动一圈弧度便会增加 2 π 2\pi 2π。因为转动一周是 2 π 2\pi 2π弧度。当弧度超过 2 π 2\pi 2π时,意味着射线已经绕原点转动了一周以上。而旋转 2 π 2\pi 2π弧度后射线会回到原来的位置。所以弧度加上 2 π 2\pi 2π的整数倍不会改变其在平面上的方向。

大于 2 π 2\pi 2π或小于 0 0 0的角与通过加上或减去 2 π 2\pi 2π的整数倍,最终得到位于 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]之间的角 α \alpha α是等价的。

考虑角 9 π 4 \frac{9\pi}{4} 49π?的正弦值。我想大家已经看出来 9 π 4 > 2 π \frac{9\pi}{4}>2\pi 49π?>2π。让我们对 9 π 4 \frac{9\pi}{4} 49π?减去 2 π 2\pi 2π整数倍得到位于 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]的等价角 π 4 \frac{\pi}{4} 4π?。所以 s i n ( 9 π 4 ) = s i n ( π 4 ) = 1 2 sin(\frac{9\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}} sin(49π?)=sin(4π?)=2 ?1?

让我们来总结一下:

  • sin ? ( θ + 2 k π ) = sin ? ( θ ) \sin(\theta+2k\pi)=\sin(\theta) sin(θ+2)=sin(θ),其中 k ∈ N k \in N kN
  • cos ? ( θ + 2 k π ) = cos ? θ ) \cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta) cos(θ+2)=cosθ),其中 k ∈ N k \in N kN
  • tan ? ( θ + 2 k π ) = tan ? ( θ ) \tan(\theta+2k\pi)=\tan(\theta) tan(θ+2)=tan(θ),其中 k ∈ N k \in N kN

2.3三角函数的图像

掌握三角函数的图像是非常有必要的。从上一节末尾我们可以直到三角函数是具有周期性的。这意味着它们的图像是从左到右的反复的重复自己。

考虑 sin ? ( x ) \sin(x) sin(x)的图像,画出它的图像很简单。我们先画出 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]上的图像。再“复制粘贴”就可以得到它的图像。

sin

这里有四个关键点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) ( π 2 , 1 ) (\frac{\pi}{2},1) (2π?,1) ( π , 0 ) (\pi,0) (π,0) ( 2 π , 0 ) (2\pi,0) (2π,0)。你应该记住这个图像。

sin ? ( x ) \sin(x) sin(x) x x x的周期函数,它的周期为 2 π 2\pi 2π。我们可以通过重复这个模式对图像进行扩展。
sin

大家有没有从图中看出一个关键信息呢? sin ? ( x ) \sin(x) sin(x)关于原点对称,所以它是奇函数。

y = c o s ( x ) y=cos(x) y=cos(x)的图像与 y = s i n ( x ) y=sin(x) y=sin(x)的图像相似。 c o s ( x ) cos(x) cos(x)也是一个以 2 π 2\pi 2π为最小正周期的周期函数。

cos

对图像进行扩展可以得到:

cos

从图中可以看出 c o s ( x ) cos(x) cos(x)是一个关于y轴对称的偶函数。

t a n ( x ) tan(x) tan(x) s i n ( x ) sin(x) sin(x) c o s ( x ) cos(x) cos(x)不同,它的定义域不是全体实数。这是因为 t a n ( x ) = s i n ( x ) c o s ( x ) tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)} tan(x)=cos(x)sin(x)?,它只有在 c o s ( x ) cos(x) cos(x)不为零时有定义。我们知道 c o s ( π 2 ) = 0 cos(\frac{\pi}{2})=0 cos(2π?)=0, c o s ( π ) = 0 cos(\pi)=0 cos(π)=0。而函数 c o s ( x ) cos(x) cos(x)具有周期性。所以 c o s ( x + k π ) = 0 cos(x+k\pi)=0 cos(x+)=0,其中 k ∈ N k \in N kN。最终我们有 x ≠ π 2 + k π x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi x=2π?+,其中 k ∈ N k \in N kN

t a n ( x ) tan(x) tan(x)时考虑到它存在垂直渐近线(无定义的点),所以最好是先画出 ? π 2 -\frac{\pi}{2} ?2π?~ π 2 \frac{\pi}{2} 2π?之间的点。
tan

y = t a n ( x ) y=tan(x) y=tan(x)并不是以 2 π 2\pi 2π为周期,而是以 π \pi π为周期的周期函数。
tan

t a n ( x ) tan(x) tan(x)关于原点对称,是奇函数。

2.4三角恒等式

让我们来回顾一下三角函数
sin ? ( θ ) = y r , cos ? ( θ ) = x r , tan ? ( θ ) = y x sec ? ( θ ) = 1 cos ? ( θ ) , csc ? ( θ ) = 1 sin ? ( θ ) , cot ? = 1 tan ? ( θ ) \sin(\theta)=\frac{y}{r},\cos(\theta)=\frac{x}{r},\tan(\theta)=\frac{y}{x}\\ \sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)},\csc(\theta)=\frac{1}{\sin(\theta)},\cot=\frac{1}{\tan(\theta)} sin(θ)=ry?,cos(θ)=rx?,tan(θ)=xy?sec(θ)=cos(θ)1?csc(θ)=sin(θ)1?,cot=tan(θ)1?
经过变化我们可以得到:
tan ? ( θ ) = sin ? ( θ ) cos ? ( θ ) , cot ? = cos ? ( θ ) sin ? ( θ ) \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)},\cot=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} tan(θ)=cos(θ)sin(θ)?,cot=sin(θ)cos(θ)?

还记得如何用直角三角形中描述三角函数吗?在直角三角形中 x x x y y y是直角边, r r r是斜边。根据勾股定理(又称毕达哥拉斯定理)我们有 x 2 + y 2 = r 2 x^2+y^2=r^2 x2+y2=r2。通常我们假设 r = 1 r=1 r=1。所以我们有恒等式.
sin ? 2 ( θ ) + cos ? 2 ( θ ) = 1 \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1 sin2(θ)+cos2(θ)=1

对上式两边同时除以 cos ? ( θ ) 2 \cos(\theta)^2 cos(θ)2:
sin ? 2 ( θ ) cos ? 2 ( θ ) + cos ? 2 ( θ ) cos ? 2 ( θ ) = 1 c o s 2 ( θ ) \frac{\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)}+\frac{\cos^2(\theta)}{\cos^2(\theta)}=\frac{1}{cos^2(\theta)} cos2(θ)sin2(θ)?+cos2(θ)cos2(θ)?=cos2(θ)1?
可以得到
1 + tan ? 2 ( θ ) = s e c 2 ( θ ) 1+\tan^2(\theta)=sec^2(\theta) 1+tan2(θ)=sec2(θ)
对上式同时除以 s i n ( θ ) 2 sin(\theta)^2 sin(θ)2可以得到
1 + c o t 2 ( θ ) = c s c 2 ( θ ) 1+cot^2(\theta)=csc^2(\theta) 1+cot2(θ)=csc2(θ)

我们还有互补角公式。它们描述了在直角三角形中,一个角的正弦、正切和正割值与其互补角的余弦、余切和余割值之间的关系。具体来说:
s i n ( x ) = c o s ( π 2 ? x ) 、 t a n ( x ) = c o t ( π 2 ? x ) 、 s e c ( x ) = c s c ( π 2 ? x ) sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x)、tan(x)=cot(\frac{\pi}{2}-x)、sec(x)=csc(\frac{\pi}{2}-x) sin(x)=cos(2π??x)tan(x)=cot(2π??x)sec(x)=csc(2π??x)
同样的我们也有
c o s ( x ) = s i n ( π 2 ? x ) 、 c o t ( x ) = t a n ( π 2 ? x ) 、 c s c ( x ) = s e c ( π 2 ? x ) cos(x)=sin(\frac{\pi}{2}-x)、cot(x)=tan(\frac{\pi}{2}-x)、csc(x)=sec(\frac{\pi}{2}-x) cos(x)=sin(2π??x)cot(x)=tan(2π??x)csc(x)=sec(2π??x)

最后还有加法公式和二倍角公式。

加法公式我们有:
sin ? ( A + B ) = sin ? ( A ) cos ? ( B ) + cos ? ( A ) sin ? ( B ) cos ? ( A + B ) = cos ? ( A ) cos ? ( B ) ? sin ? ( A ) sin ? ( B ) \sin(A+B)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)\\ \cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B) sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)cos(A+B)=cos(A)cos(B)?sin(A)sin(B)
同样的对于 A ? B A-B A?B我们有
sin ? ( A ? B ) = sin ? ( A ) cos ? ( B ) ? cos ? ( A ) sin ? ( B ) cos ? ( A ? B ) = cos ? ( A ) cos ? ( B ) + sin ? ( A ) sin ? ( B ) \sin(A-B)=\sin(A)\cos(B)-\cos(A)\sin(B)\\ \cos(A-B)=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B) sin(A?B)=sin(A)cos(B)?cos(A)sin(B)cos(A?B)=cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B)

A = B A=B A=B,我们有 A + B = 2 A A+B=2A A+B=2A。根据加法公式我们有
sin ? ( 2 A ) = 2 sin ? ( A ) cos ? ( A ) \sin(2A)=2\sin(A)\cos(A) sin(2A)=2sin(A)cos(A)
cos ? ( 2 A ) = cos ? 2 ( A ) ? sin ? 2 ( A ) \cos(2A)=\cos^2(A)-\sin^2(A) cos(2A)=cos2(A)?sin2(A)
对于第二个公式,我们可以使用勾股定理将它表示为
cos ? ( 2 A ) = 2 cos ? 2 ( A ) ? 1 \cos(2A)=2\cos^2(A)-1 cos(2A)=2cos2(A)?1

cos ? ( 2 A ) = 1 ? 2 sin ? 2 ( A ) \cos(2A)=1-2\sin^2(A) cos(2A)=1?2sin2(A)

如有问题,恳请指正

文章来源:https://blog.csdn.net/m0_58480092/article/details/135160760
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