NNDL 作业11 LSTM [HBU ]

目录

习题6-4? 推导LSTM网络中参数的梯度， 并分析其避免梯度消失的效果

>LSTM前向传播

>反向传播 求梯度

>梯度消失和梯度爆炸怎么来的？

>关键点：LSTM如何缓解梯度消失？

习题6-3P??编程实现下图LSTM运行过程

1. 使用Numpy实现LSTM算子

2. 使用nn.LSTMCell实现

3. 使用nn.LSTM实现

总结

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引用的博客以及文章连接：

老师博客:?【23-24 秋学期】NNDL 作业11 LSTM-CSDN博客

DL Homework 11-CSDN博客

李宏毅机器学习笔记：RNN循环神经网络_李宏毅rnn笔记-CSDN博客

L5W1作业1 手把手实现循环神经网络-CSDN博客

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习题6-4? 推导LSTM网络中参数的梯度， 并分析其避免梯度消失的效果

强烈推荐我看的B站视频：2.前向传播的过程_哔哩哔哩_bilibili

我把这个系列来来回回听了两遍，照着UP主的思路手推了一遍，突然就感觉顿悟了。他讲的简单易懂，很细致，非常适合初学小白。

以下展示手推过程。分别是前向传播-->反向传播 梯度消失与爆炸-->如何缓解梯度消失(爆炸)。

>LSTM前向传播

先放上前向传播结论图，下图为UP主推导得出的结论：

首先介绍LSTM结构，我在平板上画了一遍，这个图中LSTM共有三个门：

??:遗忘门

??:更新门??

??:输出门

是上一时刻输入进来的Cell记忆单元，是上一时刻输入进来的隐藏状态，是这一时刻的输入。注意最后的输出,有两个分支，一支作为输出(绿色支线)，另一支作为下一时刻输入的隐藏状态。

为点乘，矩阵/向量对应位置相乘；

表示矩阵相加；

代表sigmoid，可以将值映射到[0,1]之间；

tanh即为tanh激活函数。

进行公式推导，先举例 推导和：

权重，输入，偏置项都已经标清楚了。sigmoid函数中的公式就是循环神经网络的前向传播公式，直接套用即可，但是一定要注意下角标，标清楚这是来自哪个门的路径角标。

以此类推，按照图中所给的结构图进行推导，照葫芦画瓢，很容易就能得到：

?

(这里使用来表示支线上的是因为避免与记忆单元重合，所以赋了一个新的符号)

根据路径关系，可以得到是由遗忘门和更新门进行矩阵相加得到的：

输出门：?

又因为要分出一条支路，和输出门结果做点乘，才能得到t时刻的隐藏状态?:

其中不仅可以作为t时刻的隐藏状态，也可以作为输出?(绿色分支的线)，的值可以根据任务需求进行设定，一般可以设：?

前向传播很好推导，就是根据现有的结构照葫芦画瓢，理清楚路径顺序和路径上的操作(比如sigmoid，tanh,点乘，相加)，推出一个参数的公式来，其他参数推导公式也就大差不差了。

>反向传播 求梯度

我们以t=3 为例，三个时刻的LSTM模型结构如下图：

因为循环神经网络权重共享，所以在不同时刻 W的值都是相等的。

其中的表示：

预测值(输出)为为:

表示t时刻的损失Loss。当t=3时，对的梯度表示如下:

那么我们可以分别得到t在各个值时的链式法则求梯度公式：

?

整合一下，除了t=3时刻的式子之外，t=2 t=1时刻的式子可以提出公因式，括号内有一个连乘式?可以得到：

故对任意t时刻下，有：

即：

还有一点：应为标量，这个公式才能成立。具体原因是 公式中使用了连乘。如果为向量，就无法满足交换律，就不能写为连乘的形式了。 这是数学上的一些细节，我资历太浅 讲不明白(捂脸)，想深入探究为何的请去看一遍UP的视频。

5.LSTM如何缓解梯度消失（公式推导）_哔哩哔哩_bilibili

>梯度消失和梯度爆炸怎么来的？

原因就在于这个公式：

上面这个公式是怎么来的？---上文我写到了的表达式，截个图 放下面

会用复合函数求导的小伙伴一眼就可以看出来，这就是求了个复合函数，才得到了这个式子。

接下来，再回顾一下刚才我们求得的链式法则梯度公式：

导致梯度爆炸和梯度消失的关键点就在于连乘，我们连乘了好多个， 而且又因为，所以参数的设置就至关重要了：

>如果>1,那么梯度值会越乘越大，很容易出现梯度爆炸现象。设想一下，比1大的数，经过了十几次方 或者几十次甚至几百 几千次方的连乘，这个值将变得超级大。

>如果<1,相应的，梯度值会越乘越大，就会出现梯度消失现象。W越乘越接近0，链式求导就无法进行下去了。

所以调整的值是非常关键的。

>关键点：LSTM如何缓解梯度消失？

?有了前面知识的铺垫，现在我们终于可以进入正题，那就是LSTM如何缓解梯度消失？

(看完了UP主的推导后? 被UP深深的折服了，献上了我的一键三连。)

首先我们给出结论，如下图所示：我们需要调整,使得这一项接近于1，就能缓解梯度消失现象。? ? 现在来探讨一下具体的原因。

(以上的图片为结论)

下图是我从up视频里截出来的，可见LSTM的参数非常非常多，看的人头晕。

仍然设，我们如果想求出，就需要找到各个时刻的梯度值。?

时刻的偏导数最好求，因为只有一条路径可以到达；

但是时刻的偏导数就变得超级难求，因为有很多条路径可以达到，我用平板画一画 ，大家体会一下(这一步需要对反向传播链式求导的过程很熟悉)：

1. 第一条从到达的路经(红色＋绿色)：-->-->

这条路径是从入手的，仔细观察红色路径的重要拐弯节点。从可以逆推到，再从逆推到。

2. 第二条从到达的路径：

3. 第三条从到达的路径：

4. 第四条从到达的路径：

5. 第五条从到达的路径：

这五条路径 每一条都可以写出链式求导公式，太太太复杂了，我们理解了原理就行，公式推导无非就是换了一些角标，核心思想还是反向传播-链式求导。

这还只是时刻的链式求导公式的构建过程，时刻的更加复杂。UP整理的最终链式求导公式为：

公式的关键点在这儿：

公式中的即代表着一般表达式中的，中集合着所有链式求导的路径，它是路径的'集合'形式。我们再回顾这个结论，结论从抽象变得具体了：

可以得到，我们需要控制W参数，使连乘项约等于多个1相乘。

这样可以同时缓解梯度消失和梯度爆炸的问题。

最后 感谢UP主的视频讲解，十分感谢UP主提供了这么详细的讲解！他的公式推导过程很详细，十分推荐大家去看他的视频。

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习题6-3P??编程实现下图LSTM运行过程

1. 使用Numpy实现LSTM算子

2. 使用nn.LSTMCell实现

3. 使用nn.LSTM实现

谢谢同班同学果大神的代码思路，我在第一题里花费了好多时间，反复听了一系列课、写博客、写公式，前几天也是在一直准备英语四六级。还好有果大神的现成代码，能让我借鉴复现一下(仅管有点小小的偷懒意味，但老师说过? 学习的初始阶段就是不断地借鉴、模仿，哈哈哈 那我就借鉴一下同学写好的代码吧)

果大神博客：DL Homework 11-CSDN博客

1. 使用Numpy实现LSTM算子

代码的流程和我前文中所写的前向传播过程相匹配:
>首先赋初始值给输入和权重

>定义sigmoid函数，sigmoid函数的数学公式为

>开始循环，不断地保存上一时刻的状态，并且进行三个门的点乘运算，更新记忆细胞状态

>输出，得到结果。

代码：

#numpy算子实现LSTM
import numpy as np

#初始化输入序列，每行代表一个时间步的输入 [x1 x2 x3 label]
x = np.array([[1, 0, 0, 1],
              [3, 1, 0, 1],
              [2, 0, 0, 1],
              [4, 1, 0, 1],
              [2, 0, 0, 1],
              [1, 0, 1, 1],
              [3, -1, 0, 1],
              [6, 1, 0, 1],
              [1, 0, 1, 1]])

#权重初始化
c_W = np.array([1, 0, 0, 0]) #细胞状态权重
inputGate_W = np.array([0, 100, 0, -10])#输入门权重
outputGate_W = np.array([0, 0, 100, -10])#输出门权重
forgetGate_W = np.array([0, 100, 0, 10])#遗忘门权重

#sigmoid函数 用于LSTM中各种门的操作
def sigmoid(x):
    y = 1 / (1 + np.exp(-x))
    if y >= 0.5:
        return 1
    else:
        return 0

temp = 0
y = []
c = []
for input in x:
    c.append(temp) #保存上一时刻的细胞状态
    temp_c = np.sum(np.multiply(input, c_W)) #新细胞状态的线性组合
    #输入门 遗忘门 输出门
    # multiply表示点乘运算  sigmoid将数值进行非线性变换
    temp_input = sigmoid(np.sum(np.multiply(input, inputGate_W)))
    temp_forget = sigmoid(np.sum(np.multiply(input, forgetGate_W)))
    temp_output = sigmoid(np.sum(np.multiply(input, outputGate_W)))

    temp = temp_c * temp_input + temp_forget * temp#更新细胞状态
    y.append(temp_output * temp)#通过输出门得到输出，保存下来
print("Memory:", c)
print("Y     :", y)

结果：

2. 使用nn.LSTMCell实现

从同学那里淘来的网址，中文版pytorch网站：PyTorch - torch.nn.LSTMCell (runebook.dev)

nn.LSTMCell的使用介绍如下?：

前向传播过程

参数介绍及形状展示

权重&偏置项

使用jupyter运行一下官网给的代码：

rnn = nn.LSTMCell(10, 20)  # (input_size, hidden_size)
input = torch.randn(2, 3, 10)  # (time_steps, batch, input_size)
hx = torch.randn(3, 20)  # (batch, hidden_size)
cx = torch.randn(3, 20)
output = []
for i in range(input.size()[0]):
    hx, cx = rnn(input[i], (hx, cx))
    output.append(hx)
output = torch.stack(output, dim=0)

了解了LSTMCell的基本运行原理后，开始使用LSTMCell实现所给示例：

import torch
import torch.nn as nn

#输入数据 x 维度需要变换，因为LSTMcell接收的是(time_steps,batch_size,input_size)
x = torch.tensor([[1, 0, 0, 1],
                  [3, 1, 0, 1],
                  [2, 0, 0, 1],
                  [4, 1, 0, 1],
                  [2, 0, 0, 1],
                  [1, 0, 1, 1],
                  [3, -1, 0, 1],
                  [6, 1, 0, 1],
                  [1, 0, 1, 1]], dtype=torch.float)
#增加1个batch维度，x由原来的3*4的矩阵变为3*1*4的张量
x = x.unsqueeze(1)

hidden_size=1

#使用LSTMCell定义LSTM单元
lstm_cell = nn.LSTMCell(input_size=4, hidden_size=1, bias=False)

lstm_cell.weight_ih.data = torch.tensor([[0, 100, 0, 10],  # forget gate
                                         [0, 100, 0, -10],  # input gate
                                         [1, 0, 0, 0],  # output gate
                                         [0, 0, 100, -10]]).float() #cell gate
lstm_cell.weight_hh.data = torch.zeros([4 * hidden_size, hidden_size])
# https://runebook.dev/zh/docs/pytorch/generated/torch.nn.lstmcell

#初始化隐藏状态和细胞状态 初始值设为0
hx = torch.zeros(1, hidden_size)
cx = torch.zeros(1, hidden_size)

outputs = []
for i in range(len(x)):
    hx, cx = lstm_cell(x[i], (hx, cx))#前向传播
    outputs.append(hx.detach().numpy()[0][0])#.detach()方法为确保tensor不计算梯度
outputs_rounded = [round(x) for x in outputs] #四舍五入到最接近的整数
print(outputs_rounded)

结果：

3. 使用nn.LSTM实现

nn.LSTM相较于nn.LSTMCell增加了 num_layers

PyTorch - torch.nn.LSTM (runebook.dev)

???????

和nn.LSTMCell()的代码流程一样：

import torch
import torch.nn as nn

# 输入数据 x 维度需要变换，因为 LSTM 接收的是 (sequence_length, batch_size, input_size)
x = torch.tensor([[1, 0, 0, 1],
                  [3, 1, 0, 1],
                  [2, 0, 0, 1],
                  [4, 1, 0, 1],
                  [2, 0, 0, 1],
                  [1, 0, 1, 1],
                  [3, -1, 0, 1],
                  [6, 1, 0, 1],
                  [1, 0, 1, 1]], dtype=torch.float)

#增加1个batch维度，x由原来的3*4的矩阵变为3*1*4的张量
x = x.unsqueeze(1)

#输入size 和 隐藏状态 size
input_size = 4
hidden_size = 1

#定义LSTM模型
lstm = nn.LSTM(input_size=input_size, hidden_size=hidden_size, bias=False)

#设置权重矩阵
#只设置了输入到隐藏层的权重，而隐藏层到隐藏层的权重被设置为零。
lstm.weight_ih_l0.data = torch.tensor([[0, 100, 0, 10],  # forget gate
                                       [0, 100, 0, -10],  # input gate
                                       [1, 0, 0, 0],  # output gate
                                       [0, 0, 100, -10]]).float()  # cell gate
#隐藏层到隐藏层的权重设置为零
lstm.weight_hh_l0.data = torch.zeros([4 * hidden_size, hidden_size])

#初始化隐藏状态和记忆状态
hx = torch.zeros(1, 1, hidden_size)
cx = torch.zeros(1, 1, hidden_size)

# 前向传播
outputs, (hx, cx) = lstm(x, (hx, cx))
#通过.squeeze()方法去掉batch维度，得到一个一维的输出结果
outputs = outputs.squeeze().tolist()

#四舍五入到最接近的整数
outputs_rounded = [round(x) for x in outputs]
print(outputs_rounded)

结果，和使用nn.LSTMCell()构建的结果一样：

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总结

这次的作业 我将主要精力都放在LSTM原理理解和公式推导部分了，选了几个B站的课程试听，最终听完了我认为讲的最详细、最适合小白听的课程，来回听了两遍。自己画了流程图，手推了前向传播过程和简单的反向传播公式。我对一下的LSTM工作流程有了更深入的了解：

前向传播-->反向传播-->梯度爆炸梯度消失问题的来源-->缓解梯度消失的方法

? ?听的最酣畅淋漓的就是梯度爆炸梯度消失问题的来源与缓解方法。原来做作业的时候，要去分析为什么神经网络模型会出现梯度爆炸和梯度消失，得到的答案就是因为? ?“权重设置不恰当，导致反向传播链式求导的时候出现了多个权值连乘 使得梯度值要么 越来越小，最终消亡 梯度接近于零 无法进行更新，要么越来越大，梯度值爆炸式的上升，使得模型更新效果大减折扣” 。原因确实是这样的，但是背后的数学原理 我还是理解得一塌糊涂，没有进行过一步步的数学公式推导，所以根本就不清楚为啥会出现“权重连乘项”。 而这次的作业，我跟着B站的课，紧跟了一遍从模型构建一直到环节梯度消失的过程 ，为什么会出现权重连乘项的问题也就迎刃而解了。

代码部分借鉴了同学们的作业，利用辅助工具(其实是文心一言)帮我理清了代码的流程，走了一遍流程，照着手敲了一遍。主要问题还是--张量的形状设置，头晕脑胀，搞不清楚...得一遍又一遍的调整形状参数。哎，我的弱项就是写代码，必须要加把劲，努力做到从头到尾原创代码。