有趣的数学数学建模入门四数学建模入门示例

2023-12-13 09:58:24

一、问题描述

????????《Emmaus的信徒们》是17世纪荷兰大画家JanVermeer的名画。第二次世界大战后，荷兰安全机关开始追捕纳粹党徒。1945年5月29日，法国三流画家H.A.van Meegeren因通敌罪被捕。Meegeren供认卖给德国人的《Emmaus的信徒们》是他制作的赝品，当时荷兰当局认为他的供词是假的，目的是想逃脱通敌的罪名。

????????著名艺术史专家A.Bredius也证明说，那件《Emmaus的信徒们》是Vermeer的原作，该画当时已被Renbradt协会以17万美元买去。可是，仍有一部分人坚持认为《Emmaus的信徒们》是Meegeren制作的赝品。他们认为Meegeren因为自己在艺术界名气太小而极为不满，于是带着狂热的情绪临摹了这幅名画，以显示他比三流画家强。此事在当时轰动了全世界。

????????这样，对Meegeren卖给德国人的《Emmaus的信徒们》究竟是赝品还是Vermeer的原作，就不得而知，该案一直悬而未决。直到1967年，Carneigie-Mellon（卡内基-梅隆）大学的科学家们通过建立数学模型，并利用测得的一些数据，证实了上述所谓的名画确实是赝品，从而使这一悬案得以告破。那么，科学家们是怎样利用数学建模的方法来证实的呢？

????????众所周知，所有的绘画颜料中都含有放射性元素铅-210（210Pb）和镭-226（226Ra），而这两种重金属元素都会发生衰变，科学家们就是从这一点上找到了突破口。

二、模型假设

????????为了使问题明确具体，设 $y(t)$ 是颜料中铅-210（210Pb）的含量， $r(t)$ 是 $t$ 时间内每克颜料中镭-226（226Ra）的衰变数量。

三、模型建立

????????利用著名物理学家卢瑟福的原子物理理论，可以建立下列微分方程模型（从这个例子可知数学很重要，但是解决具体问题也是需要其它学习的知识）：

$\left\{\begin{matrix} \frac{dy(t)}{dt} = -\lambda y + r(t) \\ y(t_0) = y_0 \end{matrix}\right.$

????????由于镭-226的半衰期约为1600年，而现在仅对300年左右的时间感兴趣，因此可设镭-226保持常数r。

四、模型求解

????????求解上述微分方程的初值问题，关于初值问题可以参考下面链接。

https://skydance.blog.csdn.net/article/details/134898100https://skydance.blog.csdn.net/article/details/134898100????????https://skydance.blog.csdn.net/article/details/134914621https://skydance.blog.csdn.net/article/details/134914621????????得方程的特解为：

$y(t) = \frac{r}{\lambda }(1 - e^{-\lambda (t- t_0)}) + y_0e^{-\lambda(t- t_0)}$

????????其中 $y(t)$ 和 $r$ 可以用仪器直接测量出来，要求出 $t-t_0$ ，只需要求出 $y_0$ 和 $\lambda$ 即可。

????????下面先计算λ，令 $N(t)$ 表示放射性元素铅的原子数，则有

$\left\{\begin{matrix} \frac{dN(t)}{dt} = -\lambda N \\ N(t_0) = N_0 \end{matrix}\right.$

? ? ? ? 解得 $N(t) = N_0 e ^ {-\lambda (t-t_0)}$

????????即 $\frac{N(t) }{N_0}= e ^ {-\lambda (t-t_0)}$

????????又已知铅的半衰期为22年，故得： $\lambda = \frac{ln2}{22}$

????????再来计算y0，由式 $y(t) = \frac{r}{\lambda }(1 - e^{-\lambda (t- t_0)}) + y_0e^{-\lambda(t- t_0)}$ ，

????????得 $\lambda y_0 = \lambda y(t) e^{\lambda(t-t_0)} - r (e^{\lambda(t-t_0)}-1)$

????????如果这幅画是真品，应该有300年的历史，取 $t-t_0=300$ ，于是得

$\lambda y_0 = \lambda y(t) e^{300\lambda} - r (e^{300\lambda}-1)$

????????由于镭-226的衰变率 $r=0.8$ ，铅-210的衰变率 $y\lambda =8.5$ ，故（借助数学软件可求）

$\lambda y_0 = 8.5e^{300\lambda}-0.8(e^{300\lambda} - 1)=98050$

五、模型应用

???????? $\lambda y_0=98050$ 这个数太大了，与真实情况不符，因此可以证明Meegeren卖给德国人的《Emmaus的信徒们》是赝品。不仅这样，Carneigie-Mellon大学的科学家们利用上述方法，对其他有质疑的油画都作了鉴定，判断了真伪。

????????成功利用数学模型进行案件侦破的例子有很多，充分显示了数学模型强大的应用价值。