数据结构之---- 分治算法

数据结构之---- 分治算法

什么是分治算法？

分治，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。
分治通常基于递归实现，包括 分 和 治 两个步骤：

1. 分（划分阶段）：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。
2. 治（合并阶段）：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。

如图所示， 归并排序 是分治策略的典型应用之一

1. 分：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。
2. 治：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。
   

如何判断分治问题？

一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据：

1. 问题可以被分解：原问题可以被分解成规模更小、类似的子问题，以及能够以相同方式递归地进行划分。
2. 子问题是独立的：子问题之间是没有重叠的，互相没有依赖，可以被独立解决。
3. 子问题的解可以被合并：原问题的解通过合并子问题的解得来。

显然，归并排序是满足以上三条判断依据的：

1. 问题可以被分解：递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。
2. 子问题是独立的：每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）。
3. 子问题的解可以被合并：两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）。

如何通过分治提升效率？

分治不仅可以有效地解决算法问题，往往还可以带来算法效率的提升。
在排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为它们应用了分治策略。

那么，我们不禁发问：为什么分治可以提升算法效率，其底层逻辑是什么？
换句话说，将大问题分解为多个子问题、解决子问题、将子问题的解合并为原问题的解，这几步的效率为什么比直接解决原问题的效率更高？
这个问题可以从操作数量和并行计算两方面来讨论。

1. 操作数量优化

以 冒泡排序 为例，其处理一个长度为 𝑛 的数组需要 𝑂(𝑛²) 时间。

假设我们按照图所示的方式，将数组从中点分为两个子数组，则划分需要 𝑂(𝑛) 时间，排序每个子数组需要 𝑂((𝑛/2)²) 时间，合并两个子数组需要 𝑂(𝑛) 时间，总体时间复杂度为：


接下来，我们计算以下不等式，其左边和右边分别为划分前和划分后的操作总数：

这意味着当 𝑛 > 4 时，划分后的操作数量更少，排序效率应该更高。
请注意，划分后的时间复杂度仍然是平方阶 𝑂(𝑛²) ，只是复杂度中的常数项变小了。

进一步想，如果我们把子数组不断地再从中点划分为两个子数组，直至子数组只剩一个元素时停止划分呢？这种思路实际上就是 归并排序 ，时间复杂度为 𝑂(𝑛 log 𝑛) 。

再思考，如果我们多设置几个划分点，将原数组平均划分为 𝑘 个子数组呢？
这种情况与 桶排序 非常类似，它非常适合排序海量数据，理论上时间复杂度可以达到 𝑂(𝑛 + 𝑘) 。

2. 并行计算优化

我们知道，分治生成的子问题是相互独立的，因此通常可以并行解决。
也就是说，分治不仅可以降低算法的时间复杂度，还有利于操作系统的并行优化。

并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分地利用计算资源，从而显著减少总体的运行时间。

比如在图所示的 桶排序 中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。

分治常见应用

一方面，分治可以用来解决许多经典算法问题:

• 寻找最近点对：该算法首先将点集分成两部分，然后分别找出两部分中的最近点对，最后再找出跨越两部分的最近点对。
• 大整数乘法：例如 Karatsuba 算法，它是将大整数乘法分解为几个较小的整数的乘法和加法。
• 矩阵乘法：例如 Strassen 算法，它是将大矩阵乘法分解为多个小矩阵的乘法和加法。
• 汉诺塔问题：汉诺塔问题可以视为典型的分治策略，通过递归解决。
• 求解逆序对：在一个序列中，如果前面的数字大于后面的数字，那么这两个数字构成一个逆序对。求解逆序对问题可以通过分治的思想，借助归并排序进行求解。

另一方面，分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛:

• 二分查找：二分查找是将有序数组从中点索引分为两部分，然后根据目标值与中间元素值比较结果，决定排除哪一半区间，然后在剩余区间执行相同的二分操作。
• 归并排序：文章开头已介绍，不再赘述。
• 快速排序：快速排序是选取一个基准值，然后把数组分为两个子数组，一个子数组的元素比基准值小，另一子数组的元素比基准值大，然后再对这两部分进行相同的划分操作，直至子数组只剩下一个元素。
• 桶排序：桶排序的基本思想是将数据分散到多个桶，然后对每个桶内的元素进行排序，最后将各个桶的元素依次取出，从而得到一个有序数组。
• 树：例如二叉搜索树、AVL 树、红黑树、B 树、B+ 树等，它们的查找、插入和删除等操作都可以视为分治的应用。
• 堆：堆是一种特殊的完全二叉树，其各种操作，如插入、删除和堆化，实际上都隐含了分治的思想。
• 哈希表：虽然哈希表来并不直接应用分治，但某些哈希冲突解决策略间接应用了分治策略，例如，链式地址中的长链表会被转化为红黑树，以提升查询效率。

可以看出，分治是一种润物细无声的算法思想，隐含在各种算法与数据结构之中。

分治搜索策略

我们已经学过，搜索算法分为两大类:

• 暴力搜索：它通过遍历数据结构实现，时间复杂度为 𝑂(𝑛) 。
• 自适应搜索：它利用特有的数据组织形式或先验信息，可达到 𝑂(log 𝑛) 甚至 𝑂(1) 的时间复杂度。

实际上，时间复杂度为 𝑂(log 𝑛) 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的，例如二分查找和树。

• 二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。
• 树是分治关系的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 𝑂(log 𝑛)。

二分查找的分治策略如下所示:

• 问题可以被分解：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行
  查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。
• 子问题是独立的：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受另外子问题的影响。
• 子问题的解无须合并：二分查找旨在查找一个特定元素，因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时，原问题也会同时得到解决。

分治能够提升搜索效率，本质上是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，而分治搜索每轮可以排除一半选项

1. 基于分治实现二分

在之前的章节中，二分查找是基于递推（迭代）实现的。现在我们基于分治（递归）来实现它。

给定一个长度为 𝑛 的有序数组 nums ，数组中所有元素都是唯一的，请查找元素 target 。
从分治角度，我们将搜索区间 [𝑖, 𝑗] 对应的子问题记为 𝑓(𝑖, 𝑗) 。
从原问题 𝑓(0, 𝑛 ? 1) 为起始点，通过以下步骤进行二分查找。

1. 计算搜索区间 [𝑖, 𝑗] 的中点 𝑚 ，根据它排除一半搜索区间。
2. 递归求解规模减小一半的子问题，可能为 𝑓(𝑖, 𝑚 ? 1) 或 𝑓(𝑚 + 1, 𝑗) 。
3. 循环第 1. 和 2. 步，直至找到 target 或区间为空时返回。

下图展示了在数组中二分查找元素 6 的分治过程：

在实现代码中，我们声明一个递归函数 dfs() 来求解问题 𝑓(𝑖, 𝑗) 。

/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
	// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
	if (i > j) {
		return -1;
	}
	// 计算中点索引 m
	int m = (i + j) / 2;
	if (nums[m] < target) {
		// 递归子问题 f(m+1, j)
		return dfs(nums, target, m + 1, j);
	} else if (nums[m] > target) {
		// 递归子问题 f(i, m-1)
		return dfs(nums, target, i, m - 1);
	} else {
		// 找到目标元素，返回其索引
		return m;
	}
}

/* 二分查找 */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
	int n = nums.length;
	// 求解问题 f(0, n-1)
	return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}

构建二叉树问题

给定一个二叉树的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。假设二叉树中没有值重复的节点。

1. 判断是否为分治问题

原问题定义为从 preorder 和 inorder 构建二叉树，其是一个典型的分治问题

• 问题可以被分解：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每个子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。
• 子问题是独立的：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需要关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
• 子问题的解可以合并：一旦得到了左子树和右子树（子问题的解），我们就可以将它们链接到根节点上，得到原问题的解。

2. 如何划分子树

根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，但如何通过前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 来划分左子树和右子树呢？

根据定义，preorder 和 inorder 都可以被划分为三个部分：

• 前序遍历：[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ] ，例如图 12?5 的树对应 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。
• 中序遍历：[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ] ，例如图 12?5 的树对应 [ 9 | 3 | 1 2 7 ] 。

以上图数据为例，我们可以通过下图所示的步骤得到划分结果：

1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
2. 查找根节点 3 在 inorder 中的索引，利用该索引可将 inorder 划分为 [ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ] 。
3. 根据 inorder 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 preorder 划分为[ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。
   

3. 基于变量描述子树区间

根据以上划分方法，我们已经得到根节点、左子树、右子树在 preorder 和 inorder 中的索引区间。

而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量。

• 将当前树的根节点在 preorder 中的索引记为 𝑖 。
• 将当前树的根节点在 inorder 中的索引记为 𝑚 。
• 将当前树在 inorder 中的索引区间记为 [𝑙, 𝑟] 。

如表所示，通过以上变量即可表示根节点在 preorder 中的索引，以及子树在 inorder 中的索引区间。

请注意，右子树根节点索引中的 (𝑚 ? 𝑙) 的含义是 左子树的节点数量 ，建议配合下图理解。

4. 代码实现

/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode dfs(int[] preorder, Map<Integer, Integer> inorderMap, int i, int l, int r) {
	// 子树区间为空时终止
	if (r - l < 0)
		return null;
	// 初始化根节点
	TreeNode root = new TreeNode(preorder[i]);
	// 查询 m ，从而划分左右子树
	int m = inorderMap.get(preorder[i]);
	// 子问题：构建左子树
	root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
	// 子问题：构建右子树
	root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
	// 返回根节点
	return root;
}

/* 构建二叉树 */
TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
	// 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
	Map<Integer, Integer> inorderMap = new HashMap<>();
	for (int i = 0; i < inorder.length; i++) {
		inorderMap.put(inorder[i], i);
	}
	TreeNode root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
	return root;
}

下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下 递 的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上 归 的过程中建立的。









每个递归函数内的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 的划分结果如图所示

设树的节点数量为 𝑛 ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 dfs() ）使用 𝑂(1) 时间。因此总体时间复杂度为 𝑂(𝑛) 。
哈希表存储 inorder 元素到索引的映射，空间复杂度为 𝑂(𝑛) 。最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 𝑛 ，使用 𝑂(𝑛) 的栈帧空间。因此总体空间复杂度为 𝑂(𝑛) 。

汉诺塔问题

在归并排序和构建二叉树中，我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。

给定三根柱子，记为 A、B 和 C 。起始状态下，柱子 A 上套着 𝑛 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 𝑛 个圆盘移到柱子 C 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则：

1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入。
2. 每次只能移动一个圆盘。
3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。

我们将规模为 𝑖 的汉诺塔问题记做 𝑓(𝑖) 。
例如 𝑓(3) 代表将 3 个圆盘从 A 移动至 C 的汉诺塔问题。

1. 考虑基本情况

如图所示，对于问题 𝑓(1) ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 A 移动至 C 即可

如图所示，对于问题 𝑓(2) ，即当有两个圆盘时，由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助B 来完成移动。

1. 先将上面的小圆盘从 A 移至 B 。
2. 再将大圆盘从 A 移至 C 。
3. 最后将小圆盘从 B 移至 C 。
   
   
   
   

解决问题 𝑓(2) 的过程可总结为：将两个圆盘借助 B 从 A 移至 C 。其中，C 称为目标柱、B 称为缓冲柱。

2. 子问题分解

对于问题 𝑓(3) ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。
因为已知 𝑓(1) 和 𝑓(2) 的解，所以我们可从分治角度思考，将 A 顶部的两个圆盘看做一个整体，执行下图所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 A 移动至 C 了。

1. 令 B 为目标柱、C 为缓冲柱，将两个圆盘从 A 移动至 B 。
2. 将 A 中剩余的一个圆盘从 A 直接移动至 C 。
3. 令 C 为目标柱、A 为缓冲柱，将两个圆盘从 B 移动至 C 。

本质上看，我们将问题 𝑓(3) 划分为两个子问题 𝑓(2) 和子问题 𝑓(1) 。

按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。
至此，我们可总结出图 12?14 所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 𝑓(𝑛) 划分为两个子问题 𝑓(𝑛 ? 1)和一个子问题 𝑓(1) ，并按照以下顺序解决这三个子问题：

1. 将 𝑛 ? 1 个圆盘借助 C 从 A 移至 B 。
2. 将剩余 1 个圆盘从 A 直接移至 C 。
3. 将 𝑛 ? 1 个圆盘借助 A 从 B 移至 C 。

对于这两个子问题 𝑓(𝑛 ? 1) ，可以通过相同的方式进行递归划分，直至达到最小子问题 𝑓(1) 。而 𝑓(1) 的解是已知的，只需一次移动操作即可。

3. 代码实现

在代码中，我们声明一个递归函数 dfs(i, src, buf, tar) ，它的作用是将柱 src 顶部的 𝑖 个圆盘借助缓冲柱 buf 移动至目标柱 tar 。

/* 移动一个圆盘 */
void move(List<Integer> src, List<Integer> tar) {
	// 从 src 顶部拿出一个圆盘
	Integer pan = src.remove(src.size() - 1);
	// 将圆盘放入 tar 顶部
	tar.add(pan);
}

/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
void dfs(int i, List<Integer> src, List<Integer> buf, List<Integer> tar) {
	// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
	if (i == 1) {
		move(src, tar);
		return;
	}
	// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
	dfs(i - 1, src, tar, buf);
	// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
	move(src, tar);
	// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
	dfs(i - 1, buf, src, tar);
}

/* 求解汉诺塔 */
void solveHanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C) {
	int n = A.size();
	// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
	dfs(n, A, B, C);
}

如图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 𝑛 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 dfs()函数 ，因此时间复杂度为 𝑂(2𝑛) ，空间复杂度为 𝑂(𝑛) 。

汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。

• 在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 64 个大小不一的金圆盘。
• 僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。
• 然而，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 2⁶⁴ ≈ 1.84 × 10¹⁹ 秒，合约 5850 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。

所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。

总结

• 分治算法是一种常见的算法设计策略，包括分（划分）和治（合并）两个阶段，通常基于递归实现。
• 判断是否是分治算法问题的依据包括：问题能否被分解、子问题是否独立、子问题是否可以被合并。
• 归并排序是分治策略的典型应用，其递归地将数组划分为等长的两个子数组，直到只剩一个元素时开始逐层合并，从而完成排序。
• 引入分治策略往往可以带来算法效率的提升。一方面，分治策略减少了操作数量；另一方面，分治后有利于系统的并行优化。
• 分治既可以解决许多算法问题，也广泛应用于数据结构与算法设计中，处处可见其身影。
• 相较于暴力搜索，自适应搜索效率更高。时间复杂度为 𝑂(log 𝑛) 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的。
• 二分查找是分治策略的另一个典型应用，它不包含将子问题的解进行合并的步骤。我们可以通过递归分治实现二分查找。
• 在构建二叉树问题中，构建树（原问题）可以被划分为构建左子树和右子树（子问题），其可以通过划分前序遍历和中序遍历的索引区间来实现。
• 在汉诺塔问题中，一个规模为 𝑛 的问题可以被划分为两个规模为 𝑛 ? 1 的子问题和一个规模为 1 的子问题。按顺序解决这三个子问题后，原问题随之得到解决。