数值分析笔记整理

2023-12-27 19:28:12

数值分析笔记整理(上)

第一章计算误差评估算法稳定性

1、计算误差限

做题步骤：

求初值误差限 $|\varepsilon_{0}|$
用题中所给条件推出n=1,2,3……的误差限，直到找到规律
用误差限通项公式求得目标项误差限

2、有效数字

$|x^*-x|\le \varepsilon^*$

$|x^*-x|\le \frac{1}{2}^{m-n+1}$

这里m是将数值变成标准形式（x.xxxx）小数点移动的位数，右移为负，左移为正，n为数值的有效数字
例：0.314 化为标准形式，小数点需右移一位，m=-1；有效数字为3位，n=3; 此时m-n+1=-3 ; $|0.314-x|\le \frac{1}{2}*10^{-3}$

3、评估算法稳定性

首先正推计算误差限

卷面要体现如 $|E_{n}|=|y^*_n-y_{n}|=a|E_{N}|=\cdots=a^{n}|E_{n}|$

$\begin{cases} a<1 误差减小；算法稳定\\ a>1 误差增大；算法不稳定 \end{cases}$
若算法不稳定，选取一个较大的N，逆推回第一项

第二章插值法

1、拉格朗日插值法

拉格朗日插值基函数

$l_{k(x)}=\displaystyle\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_n))}{(x_k-x_0)\cdots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots(x_k-x_n)} (k=0,1,2,3\cdots n)$

题中给出几个点，就有几个插值基函数
插值多项式

$L_{n(X)} = \displaystyle \sum^{n}_{k=0}y_k*l_{k(x)}$

2、牛顿插值法

差商

一阶差商： $\displaystyle f[x_i,x_j]=\frac{f(x_i)-f(x_j)}{x_i-x_j}$

二阶差商： $\displaystyle f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_i,x_j]-f[x_j,x_k]}{x_i-x_k}$ $\displaystyle \frac{前两项-后两项}{头-尾}$

? 三阶差商： $\displaystyle f[x_i,x_j,x_k,x_m]=\frac{f[x_i,x_j,x_k]-f[x_j,x_k,x_m]}{x_i-x_m}$ $\displaystyle \frac{前三项-后三项}{头-尾}$

插值多项式

$\displaystyle N_{(X)}=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_n](x-x_0)\cdots(x-x_{n-1})$

绘制差商表

$x_i$	$f(x_i)$	一阶差商	二阶差商	三阶差商	$\cdots$
$x_0$	$f(x_0)$
$x_1$	$f(x_1)$	$a_1$
$x_2$	$f(x_2)$	$a_2$	$b_1$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$x_n$	$f(x_n)$	$a_n$	$b_n$	$c_n$

快速计算差商（列表计算）

一阶差商： $\displaystyle a_1=\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}$

二阶差商： $\displaystyle b_1=\frac{a_1-a_2}{x_0-x_1}$

三阶差商： $\displaystyle a_1=\frac{b_1-b_2}{x_0-x_1}$

第三章函数逼近

1、最佳平方逼近

做题步骤

一般题中会给出f(x);要求f(x)在某一区间上 $\displaystyle \rho(x)=1,\varPsi=span\begin{Bmatrix} 1 & x & x^2 \cdots\end{Bmatrix}$ ,要求最佳平方逼近多项式
根据 $\displaystyle \varPsi=span\begin{Bmatrix} 1 & x & x^2 \cdots\end{Bmatrix}$ 设出 $\displaystyle \phi_0=1,\phi_1=x,\phi_2=x^2 \cdots$
求法方程元素:

$\displaystyle (\phi_0,\phi_0)=\int_{a}^{b}x^{0+0}dx$

$\displaystyle (\phi_i,\phi_j)=\int_{a}^{b}x^{i+j}dx$

$\displaystyle (f,\phi_i)=\int_{a}^{b}f(x)x^{i}dx$

列法方程（矩阵形式）

$\displaystyle \begin{bmatrix}(\phi_0,\phi_0) & (\phi_0,\phi_1) & (\phi_0,\phi_2)\\(\phi_1,\phi_0) & (\phi_1,\phi_1) & (\phi_1,\phi_2)\\(\phi_2,\phi_0) & (\phi_2,\phi_1) & (\phi_2,\phi_2)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}(f,\phi_0)\\(f,\phi_1)\\(f,\phi_2)\end{bmatrix}$

解方程得 $a_0,a_1,a_2$ 得到多项式 $\displaystyle s^*=a_2x^2+a_1x+a_0$

2、勒让德多项式

若题中要求[-1,1]区间则可以用勒让德多项式求解
记住勒让德多项式前三项

$\displaystyle P_0=1; P_1=x ;P_2=\frac{3x^2-1}{2};P_3=\frac{x(5x^2-3)}{2}$

$\displaystyle (f,P_0)=\int_{a}^{b}f(x)dx$

$\displaystyle (f,P_1)=\int_{a}^{b}f(x)xdx$

$\displaystyle (f,P_2)=\int_{a}^{b}f(x)\frac{3x^2-1}{2}dx$

$\displaystyle (f,P_3)=\int_{a}^{b}f(x)\frac{x(5x^2-3)}{2}dx$

求出 $\displaystyle a_n^* = \frac{2n+1}{2}\int_{a}^{b}f(x) P_n(x)dx$

得 $a_0^*,a_1^*,a_2^*$ 得到多项式 $\displaystyle s^*=a_2^*x^2+a_1^*x+a_0^*$

本章会考一个反三角函数的分部积分法

$\displaystyle (arctanx)' = \frac{1}{1+x^2}$

$\displaystyle (arccos)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\displaystyle (arccos)' = -\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\displaystyle \int_{a}^{b}arctanxdx=xarctanx|_a^b-\frac{1}{2}ln(1+x^2)|_a^b$

$\displaystyle \int_{a}^{b}arcsinxdx=xarcsinx|_a^b+\sqrt{1-x^2}|_a^b$

$\displaystyle \int_{a}^{b}arccosxdx=xarccosx|_a^b-\sqrt{1-x^2}|_a^b$

第四章数值积分与数值微分

1、依据求积公式求代数精度与待定参数

代数精度：如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式能准确成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度

做题步骤

若求积公式中存在n个未知参数，则直接将 $f(x)=1;x;x^2\cdots x^n$ 分别带入公式中，令两端相等求得未知参数
若求积公式中无未知参数，则将 $f(x)=1;x;x^2\cdots x^n$ 分别带入求积公式，验证两端是否相等
若在第k次公式左边≠右边，则该求积公式具有k-1次代数精度

2、（复合）梯形公式与（复合）辛普森公式

梯形公式

$\displaystyle T_n \approx \frac{h}{2}[f(a)+f(b)]$ $\displaystyle h=\frac{b-a}{n}$

辛普森公式

$\displaystyle S_n \approx \frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{b-a}{2})+f(b)]$

复合梯形公式

$\displaystyle T_n \approx \frac{h}{2}[f(a)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]$ $\displaystyle h=\frac{b-a}{n}$

复合辛普森公式

$\displaystyle S_n \approx \frac{h}{2}[f(a)+4\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]$ $\displaystyle h=\frac{b-a}{n}$

复合梯形公式余项

$\displaystyle |R(f)|=\frac{b-a}{12}h^2\max_{a\le x\le b}|f(x)''|$

复合辛普森公式余项

$\displaystyle |R(f)|=\frac{b-a}{2880}h^4\max_{a\le x\le b}|f(x)^{(4)}|$

3、做题技巧

开始可以直接根据题目列出 $h$ ; $f (x)$ ; $x_k=hk$ ; $x_{k+\frac{h}{2}}=x_k+\frac{h}{2}$
按步长h列表
对应求和，带入公式求解
最后根据对应余项算截断误差

第五章求解线性方程组的直接方法

1、高斯消去法

消元法求解矩阵方程，写出消元过程

2、直接三角法分解（杜利特尔Doolittle分解）求线性方程

将系数矩阵A分解成上、下三角矩阵 A=LU

$\large \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\l_{31} & l_{32} & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\0 & 0 & u_{33} \end{bmatrix}$

解出 $\large l_{ij}与u_{ij}$

解方程 $\large \begin{cases}Ly=b \\ Ux=y\end{cases}$ 求出x

2、追赶法求解三对角方程组

例：

$\large A = \begin{bmatrix}2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0\\0 & -1 & 2 & -1 & 0\\0 & 0 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2\end{bmatrix}$

分解 $\large A=LU= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ p_1 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & p_2 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & p_3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & p_4 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}q_1 & c_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q_2 & c_2 & 0 & 0\\0 & 0 & q_3 & c_3 & 0\\0 & 0 & 0 & q_4 & c_4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & q_5\end{bmatrix}$ 其中c已知常数，为原矩阵对应位置元素
将LU组合一下

$\large \begin{bmatrix}q_1 & c_1 & 0 & 0 & 0 \\ p_1 & q_2 & c_2 & 0 & 0\\0 & p_2 & q_3 & c_3 & 0\\0 & 0 & p_3 & q_4 & c_4\\ 0 & 0 & 0 & p_4 & q_5\end{bmatrix}$

求解公式 $\large \begin{cases} q_1=a_1 \\ p_i=\frac{a_i}{q_{i-1}} \\ q_i = a_i-p_ic_{i-1} \end{cases}$
快捷记忆法： $\large \begin{cases} q_1=a_1 \\ 我=\frac{原我}{现上} \\ 我 = 原我-现左*现上 \end{cases}$
求得p,q,c,还原LU，解出方程组

3、（改进）平方根法求解线性方程组

平方根法： $A = LL^T$

$\large \begin{bmatrix}\sqrt{原我}\\ \frac{原我}{最上} & \sqrt{原我-现左*现上}\\ \frac{原我}{最上} & \frac{原我-现左*最上}{现上} & \sqrt{原我-现最左*现最上-现左*现上}\end{bmatrix}$

改进平方根法： $A = LDL^T$

$\large \begin{bmatrix}原我\\ \frac{原我}{现上} & 原我-现左*现上*相交\\ \frac{原我}{最上} & \frac{原我-现左*最上*相交}{现上} & \sqrt{原我-现最左*现最上*相交-现左*现上*相交}\end{bmatrix}$

文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_63087177/article/details/135230999
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