数论学习的总结

一.质数的判定：

1. 试除法判定质数

bool isprime(int x)
{
    if(x<=1)
        return false;
    for(int i=2;i<=x/i;i++)
    {
        if(x%i==0)
            return false;
    }
    return true;
}

2.质因数的分解：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
     int n;
     cin>>n;
     while(n--)
     {
         int x;
         cin>>x;
         for(int i=2;i<=x/i;i++)
         {
             int p=0;
             while(x%i==0)
             {
                 x/=i;p++;
             }
             if(p)
                cout<<i<<' '<<p<<endl;
         }
         if(x>1)
            cout<<x<<" "<<1<<endl;
         cout<<endl;
     }
    return 0;
}

?

3. 质数筛选法（埃氏筛法+线性筛）

（1）埃氏筛法

基本原理：从小到大将每个质数的倍数筛去
若某个数没有被它前面的数筛掉，那么它一定是质数。
原因：它不是前面的2~p-1中任何一个数的倍数，那么它是质数

时间复杂度：n*log(log(n))，接近线性

const int N = 1e6+5;
bool isprime[N];
int prime[N];
int cnt;
void init(int n)
{
    isprime[1]=true;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!isprime[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
                isprime[j]=true;
        }
    }
}

（2）线性筛法

基本原理：每个数只会被它最小的质因数筛掉，那么每个数只会被筛一次，所以时间复杂度为o(n)

const int N = 1e6+5;
bool isprime[N];
int prime[N];
int cnt;
void init(int n)
{
    isprime[1]=true;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!isprime[i])
           prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++)
        {
            isprime[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }
    }
}

4. 米勒罗宾素数检测法（快速判断大质数）
适用范围：较大数的较快素性判断
原理是费马小定理：如果p是素数，则a ^ (p-1)%p == 1，加上二次探测定理：如果p是一个素数，则x^2%p==1的解为，则x=1或者x=n-1。
一次检测中：

主要是把一个数n的n-1分解成d*2^ r的形式，其中d为奇数，正向过程是a^ n%p如果是1，就继续分解
a^ (n/2)%p，（a为一个与n互素的数）看是否为1,；如果是n-1就停止分解，说明至此无法判断是否为素数；如果不等于这两个值，则一定为合数。而在写代码过程是这个过程的逆向过程，先分解到底，看最后这个a^d%p是否为1或n-1，如果是说明已经分解到底了，也就是通过了此次素性测试。如果不是，说明在正向过程中出现了要么a的某次方为n-1，根据算法停止了检测过程；要么就是中间的某一个结果不等于这两个数，那么就是合数。就从最后往前面推，每一步看满不满足上述条件。直到判断为合数或者终止检测的那一步。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll q_mul(ll a,ll b,ll p)
{
	ll ans=0;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ans=(ans+a)%p;
		a=(a<<1)%p;
		b>>=1; 
	}
	return ans;
}
ll q_pow(ll a,ll b,ll p)
{
	ll ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ans=q_mul(ans,a,p);
		a=q_mul(a,a,p);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
bool Miller_Rabin(ll n){
    if(n==2)return true;
    if(n<2||!(n&1))return false;
    int t=2,r=0;
    ll m=n-1;
    while(m%2==0){
        r++;
        m>>=1;
    }
    srand(100);
    while(t--)
	{
        ll a=rand()%(n-1)+1;
        ll x=q_pow(a,m,n),tmp=0;
        for(int i=0;i<r;i++){
            tmp=q_mul(x,x,n);
            if(tmp==1&&x!=1&&x!=n-1)return false;
            x=tmp;
        }
        if(tmp!=1)return false;
    }
    return true;
}

二、约数相关

1. 试除法求约数

void get_ans(int n)
{
    vector<int> ans;
    for(int i=1;i<=n/i;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans.push_back(i);
            if(i!=n/i)
                ans.push_back(n/i);
        }
    }
    sort(ans.begin(),ans.end());
    for(auto x:ans) cout<<x<<" ";
    cout<<endl;
}

2. 求约数个数或约数之和
原理：唯一分解定理
任意正整数 n = (a1 ^ p1) * (a2 ^ p2) * (a3 ^ p3) … * (ak ^ pk)
其中a1…ak均为质数
那么约数之和 sum=(p1+1) * (p2+1) * (p3+1) … (pk+1)
即对第一个质因子可以有p1+1种选法，一直到对第k个质因子，有pk+1种选法，把选中的数乘起来就是总约数个数
?

#include<iostream>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod =1e9+7; 
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    unordered_map<int,int> mp;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        for(int i=2;i<=x/i;i++)
            while(x%i==0)
            {
                x/=i;
                mp[i]++;
            }
        if(x>1)
            mp[x]++;
    }
    ll ans=1,ans2=1; //分别为约数个数，约数之和
    for(auto x: mp)
    {
    	int t=x.first,tt=x.second;
        ll res=1;
        while(tt--) res=(res*t+1)%mod;
        ans=ans*res%mod;
        ans2=ans2*(x.second+1)%mod;
    }
    cout<<ans<<" "<<ans2<<endl;
    return 0;
}

3. 求最大公因数 / 最小公倍数

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int lcm(int a,int b)
{
	return a/gcd(a,b)*b;
}

三、欧几里得算法
1. 扩展欧几里得算法
（1）求ax+by=gcd(a,b)的任意一组解：
因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

为计算方便 , 递归的时候交换x,y位置，那么原式就变为

by+(a%b)x=gcd(a,b)

=>by + ( a - a / b (下取整) * b) * x = gcd(a,b)

=>ax + b(y - a / b * x) = gcd(a,b)
?

#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int x,y,a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        int r=exgcd(a,b,x,y);
        printf("%d %d\n",x,y);
    }
    return 0;
}

（2）求ax+by=c的解
若c%gcd(a,b)！=0那么无解

根据上面求出一组x0, y0满足a * x0 + b * y0 = gcd(a,b)

令d=c/gcd(a,b), t=c/d

ax0+by0=d

ab/d+ax0-ab/d+by0=d

a(x0+b/d)-b(y0-a/d)=d

两边同时乘以t， 即解得 x=(x0+b/d)*t, y=(y0-a/d)*t

#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
}
int main()
{
	int a,b,c,x0,y0,x,y;
	scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
	int d=exgcd(a,b,x0,y0);
	if(c%d!=0)
		printf("no solution\n");
	else
	{
		int t=c/d;
		x=(x0+b/d)*t;
		y=(y0-a/d)*t;
		printf("x=%d y=%d\n",x,y);
	}
	return 0;
}

目前学的不多，后续会根据自己的学习进度慢慢让这一片博客更加的完善。