盖子的c++小课堂——第二十三讲：背包问题

前言

又是一次漫长的更新（我真不是故意的aaaaaaaaaaaaaaa），先不多说了，直接给我~坐下~说错了说错了，直接开始~

背包问题----动态规划

背包问题（knapsack problem）

动态规划（dynamic programming）

01背包：可行性

对一个背包最多载重m斤，共有n件物品，第i件物品重量为w[i]。对每件物品可选择拿走或不拿。请问能否恰好拿到总重量为m斤？

?

?01决策：不选0，选1

凑数：可行性

目标凑出数字m，有n个数字可以使用，第i个数字为x[i]。对每一个数字最多可以选用1次。请问能否恰好凑出数字m？

?01决策：不选0，选1

简化问题

01背包：可行性

f[i][j]表示只用前i个数字能否凑出j

初始条件?

f[0][0]=1

状态转移方程

若j<x[i]——f[i][j]=f[i-1][j]

若j>=x[i]——f[i][j]=f[i-1][j]或f[i-1][j-x[i]]

01背包：3种问题

可行性判定问题

用n个物品能否恰好凑出m斤重量

方案计数问题

用n个物品能否恰好凑出m斤各种方案

最优化问题

用n个物品凑出不超过m斤时最多几斤

01背包

关于01背包，建议结合我的B站视频一起学习，相信会对你彻底理解背包问题有很大帮助！

带你学透0-1背包问题！| 关于背包问题，你不清楚的地方，这里都讲了！| 动态规划经典问题 | 数据结构与算法_哔哩哔哩_bilibili?www.bilibili.com/video/BV1cg411g7Y6?编辑https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.bilibili.com/video/BV1cg411g7Y6带你学透01背包问题（滚动数组篇） | 从此对背包问题不再迷茫！_哔哩哔哩_bilibili?www.bilibili.com/video/BV1BU4y177kY?编辑https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.bilibili.com/video/BV1BU4y177kY

有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

?

这是标准的背包问题，以至于很多混丝看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。

这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。

?二维dp数组01背包

确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少？

要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。

确定递推公式

再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，

• 由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]
• 由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

代码如下：

for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

dp[i][j]在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，因为0就是最小的了，不会影响取最大价值的结果。

如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷了。例如：一个物品的价值是-2，但对应的位置依然初始化为0，那么取最大值的时候，就会取0而不是-2了，所以要初始化为负无穷。

而背包问题的物品价值都是正整数，所以初始化为0，就可以了。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

最后初始化代码如下：

vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

?那么问题来了，先遍历物品还是先遍历背包重量呢？

其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。

那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 这个是为了展现dp数组里元素的变化
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

?先遍历背包，再遍历物品，也是可以的

例如这样：

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

为什么也是可以的呢？

要理解递归的本质和递推的方向。

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正左和正上两个方向）

其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了。

总结

讲了这么多才刚刚把二维dp的01背包讲完，这里大家其实可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在如何初始化和遍历顺序上。

可能有的混丝并没有注意到初始化和遍历顺序的重要性，我们后面做力扣上背包面试题目的时候，大家就会感受出来了。

（这真是n年一度的大更新）