Leetcode算法系列| 10. 正则表达式匹配

1.题目

给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 ‘.’ 和 ‘*’ 的正则表达式匹配。
1.‘.’ 匹配任意单个字符
2.‘.’ 匹配任意单个字符
所谓匹配，是要涵盖 整个 字符串 s的，而不是部分字符串。

• 示例1:

输入：s = "aa", p = "a"
输出：false
解释："a" 无法匹配 "aa" 整个字符串。

• 示例 2：

输入：s = "aa", p = "a*"
输出：true
解释：因为 '*' 代表可以匹配零个或多个前面的那一个元素, 在这里前面的元素就是 'a'。因此，字符串 "aa" 可被视为 'a' 重复了一次。

• 示例3：

输入：s = "ab", p = ".*"
输出：true
解释：".*" 表示可匹配零个或多个（'*'）任意字符（'.'）。

• 提示：
  • 1 <= s.length <= 20
  • 1 <= p.length <= 20
  • s 只包含从 a-z 的小写字母。
  • p 只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 . 和 *。
  • 保证每次出现字符 * 时，前面都匹配到有效的字符

2.题解

• 映入脑海的第一个想法是将数字转换为字符串，并检查字符串是否为回文。但是，这需要额外的非常量空间来创建问题描述中所不允许的字符串。
• 第二个想法是将数字本身反转，然后将反转后的数字与原始数字进行比较，如果它们是相同的，那么这个数字就是回文。
• 但是，如果反转后的数字大于 int.MAX\text{int.MAX}int.MAX，我们将遇到整数溢出问题。
• 按照第二个想法，为了避免数字反转可能导致的溢出问题，为什么不考虑只反转 int\text{int}int 数字的一半？毕竟，如果该数字是回文，其后半部分反转后应该与原始数字的前半部分相同。
  例如，输入 1221，我们可以将数字 “1221” 的后半部分从 “21” 反转为 “12”，并将其与前半部分 “12” 进行比较，因为二者相同，我们得知数字 1221 是回文。

C# 解法一：分段匹配法

• 根据星号的位置将p切割为多个 尾星串 与 至多一个 无星串，然后从p头到p尾求M值。求解p的某段的M值时，需要根据上一段的M值来依次求解；若上一段M不包含任何值，则匹配失败。若p从头到尾走完了, 则判断最终的M中是否包含了 s.length-1 这个值， 若包含了，则s与p是匹配的。

public class Solution {
 public bool IsMatch(string s, string p)
       {
           List<int> M1 = new List<int>() { -1 };
           while (p.Length > 0 && M1.Count > 0)
           {
               List<int> M2 = new List<int>() { };
               int pStarIndex = p.IndexOf("*");
               foreach (int m1 in M1)
               {
                   string sRight = s.Substring(m1 + 1);
                   if (pStarIndex == -1)
                   {
                       var result = IsMatchNoStar(sRight, p);
                       //无星说明是p的最后一组，若匹配成功则s与p匹配，直接返回true；否则直接continue
                       if (result) return true;
                       continue;
                   }
                   //有星，需要 找到 p[0,starIndex] 与 s 的匹配点
                   //先判断p[0,starIndex-2]的字符与s的一一对应 
                   int mNow = -1;
                   bool isMatchBeforeStar = true;
                   for (int i = 0; i < pStarIndex - 1; i++)
                   {
                       if (i >= sRight.Length)
                       {
                           isMatchBeforeStar = false; break;
                       }
                       mNow = i;
                       if (!IsMatchChar(sRight[i], p[i]))
                       {
                           isMatchBeforeStar = false; break;
                       }
                   }
                   if (!isMatchBeforeStar) continue;
                   //因为*可以表示0个，所以先将mNow添加到 匹配点集
                   M2.Add(mNow + (m1 + 1));
                   mNow++;
                   //再看p[startIndex-1] 与 s的匹配点，找出所有的匹配点 
                   while (mNow < sRight.Length && IsMatchChar(sRight[mNow], p[pStarIndex - 1]))
                   {
                       M2.Add(mNow + (m1 + 1));
                       mNow++;
                   }
               }
               //将startIndex以及之前的串给舍弃，留下startIndex+1以及之后的串
               p = p.Substring(pStarIndex + 1);
               //更新M1 
               M1 = M2;
           }
           return M1.Contains(s.Length - 1);
       }

       public bool IsMatchNoStar(string s, string p)
       {
           if (s.Length != p.Length)
           {
               return false;
           }
           for (int i = 0; i < s.Length; i++)
           {
               if (!IsMatchChar(s[i], p[i]))
               {
                   return false;
               }
           }
           return true;
       }

       public bool IsMatchChar(char sc, char pc)
       {
           return ((pc == '.') || (sc == pc));
       }
}

可以牺牲部分可读性 来提高效率， 优化后的代码：

public class Solution {
      public bool IsMatch(string s, string p)
    {
        List<int> M1 = new List<int>() { -1 };
        List<int> M2 = new List<int>() { };
        int pStart = 0;
        while (p.Length - pStart > 0 && M1.Count > 0)
        {
            int pStarIndex = p.IndexOf("*", pStart);
            foreach (int m1 in M1)
            {
                int sStart = m1 + 1;
                int sRightLen = s.Length - sStart;
                if (pStarIndex == -1)
                {
                    //IsMatchNoStar
                    var result = true;
                    if (s.Length - sStart != p.Length - pStart) result = false;
                    else
                    {
                        for (int i = 0; i < s.Length - sStart; i++)
                        {
                            if (!((s[sStart + i] == p[pStart + i]) || (p[pStart + i] == '.')))
                            {
                                result = false;
                                break;
                            }
                        }
                    }
                    if (result) return true;
                    continue;
                }
                int mNow = -1;
                bool isMatchBeforeStar = true;
                int pLenBeforeStar = pStarIndex - pStart - 1;
                for (int i = 0; i < pLenBeforeStar; i++)
                {
                    if (i >= sRightLen)
                    {
                        isMatchBeforeStar = false; break;
                    }
                    mNow = i;
                    if (!((s[sStart + i] == p[pStart + i]) || (p[pStart + i] == '.')))
                    {
                        isMatchBeforeStar = false; break;
                    }
                }
                if (!isMatchBeforeStar) continue;
                M2.Add(sStart + mNow++);
                int pCharIndexBeforeStar = pStarIndex - 1;
                while (mNow < sRightLen && ((s[sStart + mNow] == p[pCharIndexBeforeStar]) || (p[pCharIndexBeforeStar] == '.')))
                    M2.Add(sStart + mNow++);
            }
            pStart = pStarIndex + 1;
            var tempMs = M1; M1 = M2; M2 = tempMs;
            M2.Clear();
        }
        return M1.Contains(s.Length - 1);
    }
}

• 时间复杂度：O( pLen * sLen^2 )
  • 最坏的情况下，s全是同一个字母，p是同一个字母加星号，如 s=“aaaaaaa”,p= “aaa*” 。此时外层while以及找星的位置可以看作pLen,内层foreach每次都是对s的遍历，执行次数为sLen,再内层的 for与while加起来 又是对s的遍历，复杂度大概为 O( pLen * sLen^2 )
• 空间复杂度：O( pLen * sLen )
  • 我第二层循环里面存在常数数量的变量定义，故为 O(pLen*sLen)

C# 解法二：回溯法

• 回溯法解体的思路与分段匹配法类似，但使用递归后，只需要非常少的代码量。

• 以p为主串，从左向右去匹配s，匹配成功的部分都去掉，也就是说 若最终s与p都变成了空串，则匹配成功。

• 代码结构也很简单，首先是出口，然后是递归分支。

• 出口EXIT：p变成空串时，若s也变成了空串，则匹配成功，否则匹配失败。

• 分支A：p[1]为星号，直接去掉p的前两位，并递归。如 s=“b”,p=“a*b”.

• 分支B：p[1]为星号时，若s第一位与p第一位匹配，去掉s第一位 , 并递归，如 “s=aab”,p=“ab"。否则匹配失败，如 s=“bba”,p="ab”.

• 分支C：p[1]不为星号时，若s与p第一位匹配成功, 则都去掉第一位,并递归，如 s=“aab”,p=“aab*”. 否则匹配失败，如 s=“bab”, p=“aab*” .

• 其中，当p[1]为星号时，分支A与分支B是【或】的关系，只要有一条成功，则匹配成功； 当p[1]不为星号时，就走C。

public class Solution {
   public bool IsMatch(string s, string p)
   {
       //出口，EXIT
       if (string.IsNullOrEmpty(p)) return string.IsNullOrEmpty(s); //Exit

        bool first_match = (   
           !string.IsNullOrEmpty(s) &&
           (p[0] == s[0] || p[0] == '.')
       );
      
       if (p.Length >= 2 && p[1] == '*')
           return (IsMatch(s, p.Substring(2)) ||       // A
                   (first_match && IsMatch(s.Substring(1), p))); //B
       else 
           return first_match && IsMatch(s.Substring(1), p.Substring(1)); // C
   }
}

可以使用下标指针来代替SubString，从而明显的提高代码效率。 优化后的代码：

public class Solution {
   public bool IsMatch(string s, string p) { return IsMatch1(s, 0, p, 0); }

   public bool IsMatch1(string s, int sStart, string p, int pStart)
   {
       if (pStart == p.Length) return sStart == s.Length; //Exit
       bool first_match = (
           sStart < s.Length &&
           (p[pStart] == s[sStart] || p[pStart] == '.')
       );
       if (p.Length - pStart >= 2 && p[pStart + 1] == '*')
           return (IsMatch1(s, sStart, p, pStart + 2) ||       // A
                   (first_match && IsMatch1(s, sStart + 1, p, pStart))); //B
       else
           return first_match && IsMatch1(s, sStart + 1, p, pStart + 1); // C
   }
}

• 时间复杂度：O( (sLen+pLen) 2^(sLen+pLen/2) )*
• 空间复杂度：O( (sLen+pLen) 2^(sLen+pLen/2) )*

C# 解法三：动态规划

public class Solution {
    public bool IsMatch(string s, string p)
    {
        bool[,] dp = new bool[s.Length + 1, p.Length + 1];
        dp[s.Length, p.Length] = true;
        for (int i = s.Length; i >= 0; i--)
        {
            for (int j = p.Length - 1; j >= 0; j--)
            {
                bool first_match = (i < s.Length && (p[j] == s[i] || p[j] == '.'));
                if (j + 1 < p.Length && p[j + 1] == '*')
                {
                    dp[i, j] = dp[i, j + 2]    //A
                        || first_match && dp[i + 1, j]; //B
                }
                else
                {
                    dp[i, j] = first_match && dp[i + 1, j + 1]; // C
                }
            }
        }
        return dp[0, 0];
    }
}

• 时间复杂度：O(sLen*pLen)
  • 最table中每个值会被计算一次，不会重复计算，而每个格子的计算时间可认为是O(1),所以总时间复杂度为O(sLen*pLen)
• 空间复杂度：O(sLen*pLen)
  • able空间复杂度为 O(sLen*pLen).