SPFA算法总结

知识概览

• SPFA算法是Bellman_Ford算法的优化。时间复杂度一般是O(m)，最坏时间复杂度是O(nm)（遇到网格图、菊花图），其中n是点数，m是边数。
• SPFA算法其实是单源最短路限制最小的算法，只要图中没有负环，就一定可以用SPFA算法。
• SPFA算法可以解决有负权边的问题，也可以解决没有负权边的问题，而且效率还比Dijkstra算法快，可以说是时间复杂度最高的算法，非常常用。

例题展示

题目链接

SPFA求最短路

活动 - AcWing 系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/853/

代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    
    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1] = true;
    
    while (q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        
        st[t] = false;
        
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    while (m--)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }
    
    int t = spfa();
    
    if (t == 0x3f3f3f3f) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);
    
    return 0;
}

题目链接

SPFA判断负环

活动 - AcWing 系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/854/

代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
int dist[N], cnt[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

bool spfa()
{
    queue<int> q;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        st[i] = true;
        q.push(i);
    }
    
    while (q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        
        st[t] = false;
        
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                
                if (cnt[j] >= n) return true;
                if (!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    while (m--)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }
    
    if (spfa()) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}

参考资料

1. AcWing算法基础课