矩阵微分笔记（1）

前言

前几天学习最优化的时候，发现里面有关于矩阵求导的问题，由于不是很明白当时，就先背了下来。前几天呢也没学别的，因为楼主去拍拖啦~好吧好吧，赶紧学习补回来。

由于我只是一个学统计的（数学边缘人），所写内容可能不是这么严谨，有错误的地方还请大家纠正。但尽管如此，还是得了解一下理论的，我也想当一个调参人- -

首先给定几个前提：

• 为简便起见，仅考虑实数域的矩阵求导，不考虑复数域。
• 如果没有特殊说明，向量 $\vec{x}$ 默认为列向量的形式，即 $\vec{x}={\left[x_1,x_2,?,x_n\right]}^T$

1. 矩阵求导的布局形式

1.1 矩阵求导的基本单元

首先我们来看看在矩阵求导中会遇到的一些概念，由于与参考内容的形式不一样，为了明显起见，我用了一种比较容易区分的方式做笔记，希望大家可以理解（什么粗体细体的我真的记不住TAT）

我们会遇到标量、向量、矩阵这三个概念。

先来简单说说标量和向量的区别：如果按照物理上的概念来说的话：标量是数量，没有方向，而向量是有方向的。但在这里有点不同，我们称形式上维度为 $1\times 1$ 的量为标量，形式上维度为 $1\times n$ 的量为行向量， 形式上维度为 $n\times 1$ 的量为列向量。比如我们记标量为 $x$，向量 $\vec{x}={\left[x_1,x_2,?,x_n\right]}^T$

然后我们再简单说说矩阵和向量的关系，形式上维度为 $n\times m$ 的量称为矩阵，这里并不要求 $n$ 和 $m$ 都大于1，这也就说明了其实向量也可以看成一种矩阵。此外，矩阵也可以看成向量，比如我们有矩阵 $X=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ x_4& x_5& x_6\\ x_7& x_8& x_9\end{array}\right]$，令${\vec{\alpha }}_i$为矩阵 $X$ 的第 $i$ 列，则矩阵 $X$ 可以写成列向量组 $X=[{\vec{\alpha }}_1,{\vec{\alpha }}_2,{\vec{\alpha }}_3]$ 的形式；相应地，如果令 ${\vec{\beta }}_i$为矩阵 $X$ 的第 $i$ 行,则矩阵 $X$ 可以写成行向量组 $X=[{\vec{\beta }}_1,{\vec{\beta }}_2,{\vec{\beta }}_3{]}^T$ 的形式

下面考虑如下的一个函数
$$function(input)$$针对 $function$ 的类型、 $input$ 的类型，我们可以将这个函数 $funcion$ 分为不同的种类。

$function$ 是一个标量

$function$是一个实值标量函数，用字母 $f$ 表示。根据 $input$ 的类型，我们又可以做如下的划分：

$input$ 是标量

即 $funtion$ 的输入 $input$ 是标量。用字母 $x$ 。比如$$f(x)=x+1$$$x\in \mathbb{R}$，$f(x)$ 的结果是个取决于 $x$ 的值的标量

$input$ 是向量

即 $funtion$ 的输入 $input$ 是向量。用 $\vec{x}$ 表示或者粗体小写字母 $\mathbf{x}$ 表示，如果不做特殊说明，我们默认$\vec{x}$ 是 $n$ 维列向量，即$\vec{x}={\left[x_1,x_2,?,x_n\right]}^T$，比如设$\vec{x}={\left[x_1,x_2,x_3\right]}^T$，且有$$f(\vec{x})=a_1{x}_1^2+a_2{x}_2^2+a_3{x}_3^2+a_4{x}_1{x}_2$$，其中 $x_i$ 与 $a_i$ 均 $\in \mathbb{R}$

$input$ 是矩阵

即 $funtion$ 的输入 $input$ 是矩阵。用 $X$ 表示，比如这设 ${\mathbf{X}}_{3\times 2}=(x_{ij}{)}_{i=1,j=1}^{3,2}$，且有$$\begin{array}{rl}f(\mathbf{X})& =a_1{x}_{11}^2+a_2{x}_{12}^2+a_3{x}_{21}^2+a_4{x}_{22}^2+a_5{x}_{31}^2+a_6{x}_{32}^2\end{array}$$其中 $x_i$ 与 $a_i$ 均 $\in \mathbb{R}$

$function$ 是一个向量

$function$ 是一个向量时，我们称 $function$ 是一个实向量函数，用 $\vec{f}$ 或者粗体小写字母 $\mathbf{f}$ 表示。

含义：实向量函数 $\vec{f}$ 是由若干个标量函数 $f$ 组成的一个向量。

同样地，根据变元 $input$ 的类型可以分类为如下三种：

$input$ 是标量

例如：$${\vec{f}}_{3\times 1}(x)=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x)\\ f_2(x)\\ f_3(x)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+1\\ 2x+1\\ 3x^2+1\end{array}\right]$$其中 $x\in \mathbb{R}$，即 $x$ 是标量

$input$ 是向量

例如：设 $\vec{x}=[x_1,x_2,x_3{]}^T$，且有

$$\begin{array}{r}\vec{f}(\vec{x})=\left[\begin{array}{c}{f}_1(\vec{x})\\ f_2(\vec{x})\\ f_3(\vec{x})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3\\ x_1^2+2x_2+2x_3\\ x_1{x}_2+x_2+x_3\end{array}\right]\end{array}$$其中$x\in \mathbb{R}$，向量 $\vec{x}\in {\mathbb{R}}^3$

$input$ 是矩阵

例如：设 $X_{3\times 2}=(x_{ij}{)}_{i=1,j=1}^{3,2}$，且有$$\begin{array}{r}{\vec{f}}_{3\times 1}(X)=\left[\begin{array}{c}{f}_1(X)\\ f_2(X)\\ f_3(X)\end{array}\right]=[\begin{array}{c}{x}_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}+x_{31}+x_{32}\\ x_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}+x_{31}+x_{32}+x_{11}{x}_{12}\\ 2x_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}+x_{31}+x_{32}+x_{11}{x}_{12}\end{array}]\end{array}$$其中 $x_{ij}$ $\in \mathbb{R}$

$function$ 是一个矩阵

如果 $function$ 是一个矩阵我们称 $function$ 是一个实矩阵函数，可以用大写字母 $F$ 表示。

含义：$F$ 是由若干个 $f$ 组成的一个矩阵。

同样地，根据变元 $input$ 的类型可以分类为如下三种：

$input$ 是标量

例如：
$$F_{3\times 2}(x)=\left[\begin{array}{cc}{f}_{11}(x)& f_{12}(x)\\ f_{21}(x)& f_{22}(x)\\ f_{31}(x)& f_{32}(x)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x+1& 2x+2\\ x^2+1& 2x^2+1\\ x^3+1& 2x^3+1\end{array}\right]$$其中 $f_{ij}$ 都是标量函数，$x\in \mathbb{R}$

$input$ 是向量

例如：设 $\vec{x}=[x_1,x_2,x_3{]}^T$
$$\begin{array}{r}{F}_{3\times 2}(\vec{x})=\left[\begin{array}{cc}{f}_{11}(\vec{x})& f_{12}(\vec{x})\\ f_{21}(\vec{x})& f_{22}(\vec{x})\\ f_{31}(\vec{x})& f_{32}(\vec{x})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2x_1+x_2+x_3& 2x_1+2x_2+x_3\\ 2x_1+2x_2+x_3& x_1+2x_2+x_3\\ 2x_1+x_2+2x_3& x_1+2x_2+2x_3\end{array}\right]\end{array}$$其中$f_{ij}$ 都是 $input$ 为标量的函数，$x_k\in \mathbb{R}$

$input$ 是矩阵

$$\begin{array}{rl}{F}_{3\times 2}(X)& =\left[\begin{array}{cc}{f}_{11}(X)& f_{12}(X)\\ f_{21}(X)& f_{22}(X)\\ f_{31}(X)& f_{32}(X)\end{array}\right]\\ & =[\begin{array}{ll}{x}_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}+x_{31}+x_{32}& 2x_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}+x_{31}+x_{32}\\ 3x_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}+x_{31}+x_{32}& 4x_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}+x_{31}+x_{32}\\ 5x_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}+x_{31}+x_{32}& 6x_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}+x_{31}+x_{32}\end{array}]\end{array}$$其中$f_{ij}$ 都是 $input$ 为矩阵的函数，$x_{km}\in \mathbb{R}$

实际上，我们仍然可以定义维度更高的矩阵，这个时候的形式就不再局限于以上九种，但再此不做赘述。

1.2 矩阵求导的本质

根据求导的自变量和因变量是标量，向量还是矩阵，我们有9种可能的矩阵求导定义，如下：

$function/input$	标量形式的 $input$	向量形式的 $input$	矩阵形式的 $input$
标量形式的 $function$	$f(x)$	$f(\vec{x})$	$f(X)$
向量形式的 $function$	$\vec{f}(x)$	$\vec{f}(\vec{x})$	$\vec{f}(X)$
矩阵形式的 $function$	$F(x)$	$F(\vec{x})$	$F(X)$

我们在高等数学中，对于如下的多元函数：$$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_1{x}_2+x_2{x}_3$$我们可以求出 $f$ 对 $x_1,x_2,x_3$的偏导数：$$?\begin{array}{rl}\frac{?f}{?x_1}& =2x_1+x_2\\ & \\ \frac{?f}{?x_2}& =x_1+x_3\\ & \\ \frac{?f}{?x_3}& =x_2\end{array}$$这个时候我们会想：如果我们将每个变元 $x_1,x_2,x_3$看成是一个列向量 $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3{)}^T$，那么我们就能够将函数 $f$ 关于向量 $\vec{x}$ 的导数表述如下：$$\frac{?f}{?{\vec{x}}_{3\times 1}}=\left[\begin{array}{c}\frac{?f}{?x_1}\\ \frac{?f}{?x_2}\\ \frac{?f}{?x_3}\end{array}\right]=[\begin{array}{c}2x_1+x_2\\ x_1+x_3\\ x_2\end{array}]$$

也就是说，上述过程便是一个标量函数对向量求导的例子。实际上，矩阵求导本质是 $function$ 中的每个标量函数 $f$ 分别对变元中的每个标量元素逐个求偏导，只不过将结果写成了向量或者矩阵形式而已。

上述例子的向量是列向量，那么自然就会有疑问，我们能不能用标量函数对行向量求导数呢？答案当然是肯定的，其形式如下所示：$$\frac{?f(\mathbf{x})}{?{\vec{x}}_{3\times 1}^T}=\left[\frac{?f}{?x_1},\frac{?f}{?x_2},\frac{?f}{?x_3}\right]=[2x_1+x_2,x_1+x_3,x_2]$$

如果 $function$ 中有 $m$ 个 标量函数 $f$ ，变元 $input$ 中有 $n$ 个标量元素，那么，每个对变元中的每个元素逐个求偏导后，我们就会产生 $m\times n$ 个结果。我们已经知道，矩阵求导的本质只是把标量求导的结果排列起来，至于是按行排列还是按列排列都是可以的。但是这样也有问题，在我们机器学习算法法优化过程中，如果行向量或者列向量随便写，那么结果就不唯一或者出错，那么如何解决这个问题呢？实际上，我们只需要一开始做一个规定，然后后面的运算都遵守这个规定即可，这便是我们接下来要说的内容

1.3 矩阵求导的布局形式

让我们回顾一下上一张关于不同形式求导数的表格：

$function/input$	标量形式的 $input$	向量形式的 $input$	矩阵形式的 $input$
标量形式的 $function$	$f(x)$	$f(\vec{x})$	$f(X)$
向量形式的 $function$	$\vec{f}(x)$	$\vec{f}(\vec{x})$	$\vec{f}(X)$
矩阵形式的 $function$	$F(x)$	$F(\vec{x})$	$F(X)$

下面以表格中标量对向量或矩阵求导，向量或矩阵对标量求导，以及向量对向量求导这5种情况为例来看看矩阵求导的布局形式到底是个什么东西

这里先给出一个结论，矩阵求导有两种布局，分别是分子布局(numerator layout)和分母布局(denominator layout)。首先我们先粗略的给出两种布局的解释，并以该解释为基础，再不加证明地给出各形式求导的结果以比较不同布局形式的特点

分子布局：就是分子是列向量形式，分母是行向量形式，如前面提到的例子：$$\frac{?f}{?{\vec{x}}_{3\times 1}}=\left[\begin{array}{c}\frac{?f}{?x_1}\\ \frac{?f}{?x_2}\\ \frac{?f}{?x_3}\end{array}\right]=[\begin{array}{c}2x_1+x_2\\ x_1+x_3\\ x_2\end{array}]$$式。如果这里的 $funtion$ 是实向量函数 ${\vec{f}}_{2\times 1}$的话，结果就是 $2\times 3$ 的矩阵：$$\begin{array}{r}\frac{?{\vec{f}}_{2\times 1}(\vec{x})}{?{\vec{x}}_{3\times 1}^T}={\left[\begin{array}{ccc}\frac{?f_1}{?x_1}& \frac{?f_1}{?x_2}& \frac{?f_1}{?x_3}\\ \frac{?f_2}{?x_1}& \frac{?f_2}{?x_2}& \frac{?f_2}{?x_3}\end{array}\right]}_{2\times 3}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$相应地我们可以推广到实向量函数 ${\vec{f}}_{m\times 1}$为 $m$ 维列向量，向量 $\vec{x}=[x_1,x_2,?,x_n{]}^T$为 $n$ 维列向量的形式，则结果布局的形式为 $m\times n$

分母布局，就是分母是列向量形式，分子是行向量形式，如上述例子中的$$\frac{?f(\mathbf{x})}{?{\vec{x}}_{3\times 1}^T}=\left[\frac{?f}{?x_1},\frac{?f}{?x_2},\frac{?f}{?x_3}\right]=[2x_1+x_2,x_1+x_3,x_2]$$是实向量函数 ${\vec{f}}_{2\times 1}$的话，结果就是 $3\times 2$ 的矩阵：$$\begin{array}{r}\frac{?{\vec{f}}_{2\times 1}^T(\vec{x})}{?{\vec{x}}_{3\times 1}}={\left[\begin{array}{cc}\frac{?f_1}{?x_1}& \frac{?f_2}{?x_1}\\ \frac{?f_1}{?x_2}& \frac{?f_2}{?x_2}\\ \frac{?f_1}{?x_3}& \frac{?f_2}{?x_3}\end{array}\right]}_{3\times 2}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$相应地我们可以推广到实向量函数 ${\vec{f}}_{m\times 1}$为 $m$ 维列向量，向量 $\vec{x}=[x_1,x_2,?,x_n{]}^T$为 $n$ 维列向量的形式，则上述结果布局的形式就会变为为 $n\times m$

1.3.1 向量对标量函数的导数

即向量变元的实值标量函数 $f(\vec{x})$ , $\vec{x}=[x_1,x_2,?,x_n{]}^T$

有两种情况：

（1）：行向量偏导形式（又称行偏导向量形式）

$$\begin{array}{r}{D}_{\vec{x}}f(\mathbf{x})=\frac{?f(\vec{x})}{?{\vec{x}}^T}=\left[\frac{?f}{?x_1},\frac{?f}{?x_2},?,\frac{?f}{?x_n}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

（2）：梯度向量形式（又称列向量偏导形式、列偏导向量形式）

$$\begin{array}{r}{?}_{\vec{x}}f(\vec{x})=\frac{?f(\vec{x})}{?\vec{x}}={\left[\frac{?f}{?x_1},\frac{?f}{?x_2},?,\frac{?f}{?x_n}\right]}^T\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

不难发现，上述的两种形式互为转置

1.3.2 矩阵对标量函数的导数

即矩阵变元的实值标量函数 $f(X)$ , ${\mathbf{X}}_{m\times n}=(x_{ij}{)}_{i=1,j=1}^{m,n}$

为了后续叙述的便利，先介绍一个符号 $\mathbf{vec}(X)$ ，其作用是将矩阵 $X$ 按列堆栈来向量化，向量化后的结果是产生了一个新的列向量，其实就是把矩阵 $X$ 的第 1 列，第 2 列，直到第 $n$ 列取出来，然后按顺序组成一个列向量，即：
$$\begin{array}{r}\mathbf{vec}(\mathbf{X})=[x_{11},x_{21},?,x_{m1},x_{12},x_{22},?,x_{m2},?,x_{1n},x_{2n},?,x_{mn}{]}^T\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

（1）：行向量偏导形式（又称行偏导向量形式）

即先把矩阵变元 $X$ 按 $\mathbf{vec}(X)$向量化，转换成向量变元，再对该向量变元使用公式(3)可以得到$$\begin{array}{rl}{\mathrm{D}}_{\mathbf{vec}X}f(X)& =\frac{?f(X)}{?{\mathbf{vec}}^T(X)}\\ & =\left[\frac{?f}{?x_{11}},\frac{?f}{?x_{21}},?,\frac{?f}{?x_{m1}},\frac{?f}{?x_{12}},\frac{?f}{?x_{22}},?,\frac{?f}{?x_{m2}},?,\frac{?f}{?x_{1n}},\frac{?f}{?x_{2n}},?,\frac{?f}{?x_{mn}}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

（2）：$\mathbf{Jacobian}$ 矩阵形式

即先把矩阵变元 $X$ 进行转置(分母位置转置)，再对转置后的每个位置的元素逐个求偏导，结果布局和转置布局一样。即因为矩阵变元 $X$ 是 $m\times n$ 维的，所以结果布局是 $n\times m$ 维的，即$$\begin{array}{rl}{D}_{X}f(X)& =\frac{?f(X)}{?X_{m\times n}^T}\\ & ={\left[\begin{array}{cccc}\frac{?f}{?x_{11}}& \frac{?f}{?x_{21}}& ?& \frac{?f}{?x_{m1}}\\ \frac{?f}{?x_{12}}& \frac{?f}{?x_{22}}& ?& \frac{?f}{?x_{m2}}\\ ?& ?& ?& ?\\ \frac{?f}{?x_{1n}}& \frac{?f}{?x_{2n}}& ?& \frac{?f}{?x_{mn}}\end{array}\right]}_{n\times m}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

（3）：梯度向量形式（又称列向量偏导形式、列偏导向量形式，这个用到的比较多）

即先把矩阵变元 $X$ 按 $\mathbf{vec}(X)$向量化，转换成向量变元，再对该向量变元使用公式(4)，即分子位置转置，可以得到$$\begin{array}{rl}{?}_{\mathbf{vec}X}f(X)& =\frac{?f(X)}{?\mathbf{vec}(X)}\\ & ={\left[\frac{?f}{?x_{11}},\frac{?f}{?x_{21}},?,\frac{?f}{?x_{m1}},\frac{?f}{?x_{12}},\frac{?f}{?x_{22}},?,\frac{?f}{?x_{m2}},?,\frac{?f}{?x_{1n}},\frac{?f}{?x_{2n}},?,\frac{?f}{?x_{mn}}\right]}^T\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$即得到的结果是一个梯度向量（列向量）

（4）：梯度矩阵形式

直接对矩阵变元 $X$ 的每个位置的元素逐个求偏导，结果布局和矩阵变元的维度一样。即矩阵变元 $X$ 是 $m\times n$ 维的，所以结果布局也是 $m\times n$ 维的，即$$\begin{array}{rl}{?}_{X}f(X)& =\frac{?f(X)}{?X_{m\times n}}\\ & ={\left[\begin{array}{cccc}\frac{?f}{?x_{11}}& \frac{?f}{?x_{12}}& ?& \frac{?f}{?x_{1m}}\\ \frac{?f}{?x_{21}}& \frac{?f}{?x_{22}}& ?& \frac{?f}{?x_{2m}}\\ ?& ?& ?& ?\\ \frac{?f}{?x_{m1}}& \frac{?f}{?x_{m2}}& ?& \frac{?f}{?x_{mn}}\end{array}\right]}_{m\times n}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

由以上的公式可以发现，对于向量变元的实值标量函数 $f(\vec{x})$ ,$\vec{x}=[x_1,x_2,?,x_n{]}^T$,结果布局本质上有两种形式，一种是 Jacobian 矩阵(行向量) 形式，一种是梯度矩阵(列向量)形式，且这两种形式互为转置。

1.3.3 矩阵对矩阵函数的导数

即矩阵变元的实矩阵函数 $F(X)\text{,}{X}_{m\times n}={\left(x_{ij}\right)}_{i=1,j=1}^{m,n},F_{p\times q}=(f_{ij}{)}_{i=1,j=1}^{p,q}$

（1）：$\mathbf{Jacobian}$ 矩阵形式

先把矩阵变元 $X$ 按 $\mathbf{vec}$ 向量化成一个列向量，即转换成向量变元：$$\mathbf{vec}(X)=[x_{11},x_{21},?,x_{m1},x_{12},x_{22},?,x_{m2},?,x_{1n},x_{2n},?,x_{mn}{]}^T$$然后再把实矩阵函数 $F(X)$ 也按 $\mathbf{vec}$ 向量化成一个列向量，即转换成实向量函数：$$\begin{array}{rl}& \mathbf{vec}(F(X))=[f_{11}(\mathbf{X}),f_{21}(\mathbf{X}),?,f_{p1}(\mathbf{X}),f_{12}(\mathbf{X}),f_{22}(\mathbf{X}),?,f_{p2}(\mathbf{X}),?,f_{1q}(\mathbf{X}),f_{2q}(\mathbf{X}),?,f_{pq}(\mathbf{X}){]}^T\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$那么我们可以利用前面的公式(1)来实现向量对向量函数的导数的行向量偏导形式，由于分子是维数是 $pq\times 1$ 的列向量，分母的维度是 $1\times mn$ 的行向量，所以结果布局的维数是 $pq\times mn$ 维的，具体公式如下表示：(由于这里的Latex显示不了，于是就用图片替代了)

（2）：梯度矩阵形式

先把矩阵变元 $X$ 按 $\mathbf{vec}$ 向量化成一个列向量，即转换成向量变元：$$\mathbf{vec}(X)=[x_{11},x_{21},?,x_{m1},x_{12},x_{22},?,x_{m2},?,x_{1n},x_{2n},?,x_{mn}{]}^T$$然后再把实矩阵函数 $F(X)$ 也按 $\mathbf{vec}$ 向量化成一个列向量，即转换成实向量函数：$$\begin{array}{rl}& \mathbf{vec}(F(X))=[f_{11}(\mathbf{X}),f_{21}(\mathbf{X}),?,f_{p1}(\mathbf{X}),f_{12}(\mathbf{X}),f_{22}(\mathbf{X}),?,f_{p2}(\mathbf{X}),?,f_{1q}(\mathbf{X}),f_{2q}(\mathbf{X}),?,f_{pq}(\mathbf{X}){]}^T\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$那么我们可以利用前面的公式(2)来实现向量对向量函数的导数的列向量偏导形式，由于分子是维数是 $1\times pq$ 的行向量，分母的维度是 $mn\times 1$ 的列向量，所以结果布局的维数是 $mn\times pq$ 维的，具体公式如下表示：(由于这里的Latex显示不了，于是就用图片替代了)

根据上面的计算可以发现，对于矩阵变元的实值标量函数 $f(X)$ ,$X_{m\times n}=(x_{ij}{)}_{i=1,j=1}^{m,n}$，结果布局本质上有四种形式，第一种是 Jacobian 矩阵(行向量) 形式，第二种是梯度矩阵(列向量)形式，第三种是 Jacobian 矩阵(矩阵)形式，第四种是梯度矩阵(矩阵)形式。其中第一种和第二种的结果布局形式互为转置，第三种和第四种的结果布局形式互为转置。

矩阵变元的实向量函数 $f(X)$ 、向量变元的实向量函数 $f(x)$ 、向量变元的实矩阵函数$F(\vec{x})$这三个都可以看做是矩阵变元的实矩阵函数 $F(X)$ ,可使用矩阵对矩阵函数的导数的形式进行计算 (因为向量可以看出一种特殊的矩阵)。

1.3.4 分子布局和分母布局的本质

说到这，其实矩阵求导的结果布局实际上就是分子的转置、向量化，分母的转置、向量化的各种组合。为了方便记忆，我们总结如下：

分子布局的本质：分子是标量、列向量、矩阵向量化后的列向量；分母是标量、列向量转置后的行向量、矩阵的转置矩阵、矩阵向量化后的列向量转置后的行向量。包含公式 (3)式、(6)式、 (7) 式和 (11) 式。一句话就是：分子是列向量，分母是行向量

分母布局的本质：分子是标量、列向量转置后的行向量、矩阵向量化后的列向量转置后的行向量；分母是标量、列向量、矩阵自己、矩阵向量化后的列向量。包含公式(4) 式、(8)式、(9)式和 (12) 式。一句话就是：分子是行向量，分母是列向量

一般情况下，我们都想向量函数 $\vec{f}$ 和 向量变元 $\vec{x}$ 都看成列向量，如果二者都不做转置直接求 $\frac{?\vec{f}}{?\vec{x}}$，理论上是不够严谨的，为此我们需要对其中一个进行转置，我们可以用一句话来总结：哪个位置不转置就是哪个位置的布局。比如分母不转置，就是分母布局；分子不转置，就是分子布局。

最后用一个表格将这次学习的内容做一个总结：

分子/分母	标量函数 $f$	(列)向量函数 $\vec{f}=[f_1,?,f_m{]}^T$	矩阵函数 $F=(f_{ij}{)}_{i=1,j=1}^{p,q}$
标量 $x$	高等数学中的导数	分子布局：$m$ 维列向量 $\frac{?\vec{f}}{?x}$(默认形式) 分母布局：$n$ 维行向量 $\frac{?{\vec{f}}^T}{?x}$	分子布局：$p\times q$ 矩阵$\frac{?F}{?x}$ (默认形式) 分母布局：$q\times p$ 矩阵 $\frac{?F^T}{?x}$
(列)向量 $\vec{x}=[x_1,?,x_n{]}^T$	分子布局：$n$ 维行向量 $\frac{?f}{?\vec{x}}$ 分母布局：$n$ 维列向量 $\frac{?\vec{f}}{?{\vec{x}}^T}$(默认形式)	分子布局：$m\times n$ 维雅克比矩阵 $\frac{?\vec{f}}{?x^T}$ 分母布局：$n\times m$ 维梯度矩阵 $\frac{?{\vec{f}}^T}{?x}$
矩阵 $X=(x_{ij}{)}_{i=1,j=1}^{m,n}$	分子布局：$n\times m$ 维矩阵 $\frac{?f}{?X^T}$ 分母布局：$n\times m$ 维梯度矩阵 $\frac{?f}{?X}$ (默认形式)

以上便是矩阵求导的关于布局的内容，下一节将学习具体的矩阵求导法则以及一些典型例子

参考

矩阵求导的本质与分子布局、分母布局的本质（矩阵求导——本质篇）

张贤达《矩阵分析与应用（第二版）》

矩阵的求导